¿Por qué $x=-\sqrt{\tan(y)}$ rechazado al diferenciar $y=\tan^{-1}x^2$ ?

Question

Trabajaré en el problema para identificar mi problema.

$$y=\tan^{-1}(x^2)$$

$$\tan(y) = x^2$$

De esto sabemos que:

$$\sin(y)=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^4}}$$ y $$\cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}$$

$$x=\pm \sqrt{\tan(y)}$$

Mi libro de texto sólo continúa con la ruta +. Por qué se rechazaría la ruta aquí? $$\dot{x}=\pm \frac{\sec^2(y)}{2\sqrt{\tan(y)}}=\pm \frac{1+x^4}{2(\pm x)} $$

$$\dot{y}=\pm \frac{2x}{1+x^4}$$

He graficado ambos $y$ y $\dot{y}$ y efectivamente la ruta + es la función pendiente mientras que la ruta - no lo es, así que estoy convencido de que la ruta - debería haber sido rechazada pero no puedo ver cómo sabrías rechazarla.

Answer 1

Ambas rutas funcionan, y tienen que funcionar, de lo contrario la derivada no existiría en $x<0$ . De hecho, usted en la penúltima línea. El $\pm$ se anulan en la expresión para $\dot{x}$ .

$$\dot{x}=\pm\frac{x^4+1}{2(\pm x)}$$

Elegir $+$ :

$$\dot{x}=+\frac{x^4+1}{2x}$$

Y elegir $-$ :

$$\dot{x}=-\frac{x^4+1}{2(- x)}=\frac{x^4+1}{2x}$$

Lo importante es recordar que nunca puede darse una situación en la que el $\pm$ signos son diferentes. Se trata de elegir uno de los signos en $x=\pm \sqrt{\textrm{tan}(y)}$ por ejemplo, elegir el primer $\pm$ signo ser $-$ :

$$\dot{x}=-\frac{x^4+1}{2(\pm x)}$$

Esto significa que ha elegido $x=- \sqrt{\textrm{tan}(y)}$ por lo que, naturalmente, el segundo $\pm$ signo también es $-$ .

En cambio, tu última línea es incorrecta:

$$\dot{y}=\frac{2x}{x^4+1}$$

Y no hay ningún signo negativo.