Resolver $x^2u_x + y^2u_v + z(x+y)u_z = 0$

Question

Ejercicio :

S $$x^2u_x + y^2u_v + z(x+y)u_z = 0$$

Intento :

Tenemos que resolver el problema :

$$\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{z(x+y)}$$

Eligiendo las dos primeras fracciones, obtenemos :

$$\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} \Rightarrow \int \frac{dx}{x^2} = \int \frac{dy}{y^2} \Leftrightarrow -\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + c $$ $$\implies $$ $$u_1 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$$

Ahora, eligiendo la primera y la última fracción, obtenemos :

$$\frac{dx}{x^2} = \frac{dz}{z(x+y)} \Rightarrow \int z(x+y)dx = \int x^2dz \Leftrightarrow z\frac{x^2}{2} + zxy = x^2z + c' $$

pero es un resultado diferente para $u_2$ y finalmente la solución general $u(x,y,z) = F(u_1,u_2)$ que Wolfram Alpha calcula aquí%2Fdx%20%20%2B%20y%5E2%20%20d(u(x,y,z))%2Fdy%20%2B%20z(x%2By)%20%20d(u(x,y,z))%2Fdz%20%3D%200) . ¿Por qué es así y en qué me equivoco con mi solución?

Answer 1

Para la primera ecuación

$$\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} \Rightarrow \int \frac{dx}{x^2} = \int \frac{dy}{y^2} \Leftrightarrow -\frac{1}{x} = -\frac{1}{y} + C$$

$$ \implies K=\frac 1x- \frac 1y $$ Para la última ecuación usa este truco @Rebellos

$$\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{z(x+y)}$$ $$\frac{dx-dy}{x^2-y^2} = \frac{dz}{z(x+y)}$$ $$\frac{d(x-y)}{x-y} = \frac{dz}{z}$$

Te dejo terminar esta última ecuación