¿Qué probabilidades hay de que un gráfico generado "al azar" represente una función?

Question

Estoy creando una actividad para mi clase que enseña las pruebas de línea vertical y horizontal y por mi vida que no puedo averiguar las probabilidades involucradas. Aquí está el ejercicio:

Roba 5 pares de cartas de una baraja normal. Cada par define un punto en el plano: la primera carta es la coordenada x de un punto y la segunda es la coordenada y (Jotas = 11, Reinas = 12, Reyes = 13). Las cartas rojas son positivas y las negras negativas. Traza los 5 puntos, baraja las cartas, repite el proceso para obtener un total de 10 puntos.

Pregunta: ¿Qué probabilidades hay de que tu gráfico supere la prueba de la línea vertical?

Esta no es la pregunta que los alumnos van a responder, sólo están calculando las probabilidades experimentales sondeando a la clase. Pensé que estaría bien mostrarles las probabilidades teóricas para que pudiéramos discutir lo cerca que estamos, pero hasta ahora sólo he podido encontrar respuestas erróneas sencillas y fáciles de entender. Imagino que es bastante probable que me haya olvidado de algo de combinatoria y que esto sea en realidad bastante fácil de resolver.

(Actualización: Alrededor del 34% es la respuesta más sensata que he obtenido hasta ahora).

Answer 1

Esta respuesta sólo da límites, no un valor exacto.

Habrá 45 pares posibles a partir de cualquier secuencia de 10 pares de cartas.

Para cada uno de los 20 pares que no están separados por el
a mitad de partida, la probabilidad de que den el mismo punto es

$\frac{50}{51} \cdot \frac1{50} \cdot \frac1{49} \: = \: \frac1{2499} \: \approx \: 0.00040016 \;\;\;\;$ .

Para cada uno de los 25 pares separados por el
a mitad de partida, la probabilidad de que den el mismo punto es

$\left(\frac{50}{51} \cdot \frac2{52} \cdot \frac2{51}\right) + \left(\frac1{51} \cdot \frac2{52} \cdot \frac1{51}\right) \: = \: \frac{101}{67626} \: \approx \: 0.0014935 \;\;$ .

La probabilidad de que haya un par de pares que den el mismo punto es como máximo

$\left(20\cdot \frac1{2499}\right) + \left(25\cdot \frac{101}{67626}\right) \: = \: \frac{150245}{3313674} \: \approx \: 0.04534 \;\;$ .

Dado que es posible que más de un par de pares den el mismo punto, el
probabilidad de que algún par de pares que den el mismo punto sea menor que $\frac{150245}{3313674}\:$ .

Es posible que los puntos pasen la prueba de la línea vertical y que algún par de pares dé el mismo punto.

La probabilidad de que los puntos pasen la prueba de la línea vertical y algún par
de pares da el mismo punto es mayor que 0 y menor que $\frac{150245}{3313674}\:$ .

$\frac{50\cdot 48\cdot 46\cdot 44\cdot 42\cdot 40\cdot 38\cdot 36\cdot 34}{51\cdot 50\cdot 49\cdot 48\cdot 52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\cdot 48} \: = \: \frac{76912}{379015} \: \approx \: 0.2029260056$

$\frac{76912}{379015} + \frac{150245}{3313674} \: = \: \frac{28793647}{115978590} \: \approx \: 0.2482669172$

En $p$ es la probabilidad de que el gráfico supere la prueba de la línea vertical,

$0.2029260056 \approx \frac{76912}{379015} < p < \frac{28793647}{115978590} \approx 0.2482669172 \;\;$ .