Básicamente, he estado estudiando sobre las inversiones de Möbius recientemente y estaba un poco confuso. Sé que la inversión en el círculo unitario se puede representar como el mapa $z \rightarrow \frac{1}{\overline{z}}$ pero no sé si se trata de una transformación de Möbius. Y si no lo es, ¿hay alguna diferencia entre esta inversión y la inversión en las transformaciones de Möbius?
Respuesta
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$z \mapsto 1/\overline{z}$ es la composición de una transformación de Möbius y una reflexión sobre el eje real.
Todas las transformaciones de Möbius conservan la orientación, por lo que no pueden modelizar directamente las inversiones. En su lugar, tenemos la transformación de Möbius $z \mapsto \frac1z$ que es una inversión seguida de una reflexión (para restablecer la orientación). Esta transformación mantiene muchas de las propiedades de una inversión, como el mapeo clines (círculos o líneas) a otras clinas.
Todas las transformaciones de Möbius pueden expresarse como composiciones de traslaciones, rotaciones, dilataciones y la $z \mapsto \frac1z$ mapa combo-inversión-reflejo.
