Integración sobre una variedad incrustada: ¿Factor jacobiano?

Question

Digamos que quiero integrar una función

$$ f(x,y),\quad x\in\Gamma_1,y\in\Gamma_2 $$ donde $\Gamma_1,\Gamma_2$ son ambas colectores embebidos en $\Bbb{R}^3$ . La dimensión de $\Gamma_1$ es 1 (una curva suave, por ejemplo), mientras que la dimensión de $\Gamma_2$ es 2 (un plano o superficie). Formalmente, lo que quiero calcular es:

$$ \int_{\Gamma_1}\int_{\Gamma_2}f(x,y)dxdy $$

Si elijo parametrizaciones (globales) de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ ¿qué aspecto tiene el factor jacobiano de cambio de variables? La matriz de la transformación no será cuadrada (¡será 6x3!)

Creo que sé la respuesta, basándome en este un conjunto de apuntes muy útil: si $\Phi:\Bbb{R}^3\rightarrow\Bbb{R}^3\times\Bbb{R}^3$ es mi parametrización, la respuesta debería ser

$$ \int_{\Gamma_1}\int_{\Gamma_2}f(x,y)dxdy = \int_{\phi_1}^{\phi_2}\int_{\beta_1}^{\beta_2}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(\Phi(\alpha,\beta,\phi))\sqrt{\det (J^T_\Phi J_\Phi)}d\alpha d\beta d\phi $$

¿Es correcto este factor jacobiano? ¿Alguien tiene un libro de referencia para hacer esto? La parte que no he visto antes es el jacobiano no cuadrado. Me lo habré perdido en mis cursos de cálculo de hace tanto tiempo.

Answer 1

Después de indagar un poco más, descubrí que se trata simplemente de la expresión para el elemento de volumen en una variedad riemanniana. La expresión general en este entorno es

$$ \int_Mf dV_M = \int_Uf(\Phi(x))\sqrt{\det(g_{ij}(x))}dx $$ donde $\Phi:U\subset\Bbb{R}^n\rightarrow M$ es la parametrización de $M$ y $g_{ij}$ es la métrica de Riemann. En este caso, la métrica de Riemann tiene la forma

$$ g_{ij}(x) = J_\Phi(x)^TJ_\Phi(x) $$

Referencia: Cálculo sobre Múltiples, Spivak.

Answer 2

Es la fórmula del área. Su forma más general (excepto para actualizar fácilmente a los colectores) es la siguiente.

Teorema (fórmula del área) Sea $n \leq m$ y $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ sea Lipschitz. Entonces para cualquier subconjunto medible por Lebesgue $A \subset \mathbb{R}^n$ tenemos $$ \int_A J_f(x) \, d\mathcal{L}^n(x) = \int_{\mathbb{R}^m} N(f,A,y) \, d\mathcal{H}^n(y) \ , $$ donde la función de multiplicidad $N(f,A,y)$ es el número (posiblemente infinito) de puntos de $A$ que se asignan a $y$ y $$ J_f(X) = \sqrt{\det \left( Df(x)^T \cdot Df(x) \right)} \, . $$ Lo que hace este jacobiano es ver la derivada $Df(x)$ como un mapa lineal desde $\mathbb{R}^n$ al espacio tangente a la variedad $f(A)$ en $f(x)$ que es una copia de $\mathbb{R}^n$ e ignorar el complemento del espacio tangente. Ahora se tiene un mapa lineal entre espacios de igual dimensión y su determinante está bien definido. Queda entonces demostrar que éste es igual al dado anteriormente.

Para las pruebas del teorema en esta forma, véase Evans y Gariepy: Teoría de medidas y propiedades Fine de funciones

Muchas versiones del teorema aparecen en diferentes contextos. Normalmente $f$ se supone que es $C^1$ si no se desea pasar por el teorema de diferenciabilidad de Rademacher para los mapas de Lipschitz, y por simplicidad $f$ se supone que es uno a uno, por lo que $N(f,A,y)=1$ (es decir, desaparece).