Es $\det(I+M\bar{M})\geq 0$ para cualquier matriz cuadrada compleja $M$ ?

Question

Sea $M$ sea un complejo $n\times n$ matriz y $I$ el $n\times n$ matriz de identidad. La sobrelínea $\bar{M}$ denota el conjugado complejo. El determinante de $I+M\bar{M}$ es obviamente real, porque $\det(I+M\bar{M})=\det(I+\bar{M}M)=\overline{\det(I+M\bar{M})}$ .
No me cabe duda de que $$\det(I+M\bar{M})\geq 0,$$ pero no tengo pruebas. ¿Puede alguien ayudarme?

Motivación: Necesito esto para completar una respuesta en MO.

Answer 1

El caso de 2 por 2 con todas las letras reales. Creemos que el determinante es positivo, intentar escribirlo como una suma de cuadrados, supongo.

parisize = 4000000, primelimit = 500000
? m = [ a+b*I, c+d*I; e+f*I, g+h*I]
%1 = 
[a + I*b c + I*d]

[e + I*f g + I*h]

? n = [ a-b*I, c-d*I; e-f*I, g-h*I]
%2 = 
[a - I*b c - I*d]

[e - I*f g - I*h]

? matt = matid(2) + m*n
%5 = 
[a^2 + (b^2 + ((e - I*f)*c + ((I*e + f)*d + 1))) (c - I*d)*a + ((I*c + d)*b + ((g - I*h)*c + (I*g + h)*d))]

[(e + I*f)*a + ((-I*e + f)*b + ((g + I*h)*e + (-I*g + h)*f)) (e + I*f)*c + ((-I*e + f)*d + (g^2 + (h^2 + 1)))]

? dett = matdet(matt)
%6 = (g^2 + (h^2 + 1))*a^2 + 
((-2*g*e - 2*h*f)*c + (-2*h*e + 2*g*f)*d)*a +
 ((g^2 + (h^2 + 1))*b^2 +
 ((2*h*e - 2*g*f)*c + (-2*g*e - 2*h*f)*d)*b +
 ((e^2 + f^2)*c^2 + 2*e*c + ((e^2 + f^2)*d^2 + 2*f*d + (g^2 + (h^2 + 1)))))
?