Basta con aplicar las transposiciones a los números $1,...,5$ . Si deja que $\pi=(12)(13)(14)(15)(14)(13)(12)$ Verá que $\pi(1) = 1$ , $\pi(2) = 2$ , $\pi(2) = 2$ , $\pi(4) = 5$ , $\pi(5) = 4$ Por lo tanto $\pi = (45)$ .
Otra forma es observar que $(14)(15)(14) = (45)$ y $(nm)^{-1} = (nm)$ . Entonces $\pi = ((13)(12))^{-1} (45)( (13) (12))$ . Desde el $(45)$ y $(13)(12)$ no se solapan, vemos que $\pi = ((13)(12))^{-1} ( (13) (12))(45) = (45)$ .
Anexo : Obsérvese que una transposición de la forma $(n_1...n_k)$ se comporta como una identidad para todos los valores excepto $n_1,...,n_k$ . Por lo tanto, si tenemos dos transposiciones $(ab)$ y $(mn)$ donde el $a,b,m,n$ son distintos, entonces tenemos $(ab)(mn) = (mn)(ab)$ .
Además, tenga en cuenta que $(mn)(mn)$ es la identidad, y mapea $m $ a $m$ , $n$ a $n$ y es una identidad para todos los demás valores.
Por lo tanto \begin{eqnarray} \pi &=& (12)(13)(14)(15)(14)(13)(12) \\ &=& (12)(14)(13)(15)(14)(13)(12) \\ &=& (12)(14)(15)(13)(14)(13)(12) \\ &=& (12)(14)(15)(14)(13)(13)(12) \\ &=& (12)(14)(15)(14)(12) \\ &=& (14)(12)(15)(14)(12) \\ &=& (14)(15)(12)(14)(12) \\ &=& (14)(15)(14)(12)(12) \\ &=& (14)(15)(14) \\ &=& (45) \end{eqnarray} Para ver de dónde proceden las dos últimas líneas, observe que los únicos valores afectados por $\sigma=(14)(15)(14)$ son $1,4,5$ los demás valores se asignan a sí mismos. Observamos (por cálculo) que $\sigma(1) = 1, \sigma(4) = 5$ y $\sigma(5) = 4$ Por lo tanto $\sigma = (45)$ .
Nota : Para calcular $\pi = \pi_1 \cdots \pi_k$ basta con calcular $\pi(n)$ para todos $n$ . Por ejemplo, si $\pi = \pi_1 \pi_2 \pi_3 = (14)(15)(14)$ se aplica a $(1,2,3,4,5)$ podemos hacerlo paso a paso como en (disculpen el abuso de notación) $\pi_1 (1,2,3,4,5) = (4,2,3,1,5)$ , $\pi_2(4,2,3,1,5) = (4,2,3,5,1)$ y $\pi_3 (4,2,3,5,1) = (1,2,3,5,4)$ . Por lo tanto $\pi$ sólo intercambios $4,5$ y así podemos escribir $\pi = (45)$ .
