No he estudiado la teoría de categorías con extrema profundidad, así que quizás esta pregunta sea un poco ingenua, pero siempre me he preguntado si el análisis podría enseñarse de forma natural utilizando categorías. Lo pregunto porque parece que muchos conceptos topológicos y de teoría de grupos pueden definirse más sucintamente utilizando conceptos categóricos, y las definiciones categóricas son más reveladoras. Así que mi pregunta es: (1) ¿Es posible/beneficioso enseñar análisis utilizando la teoría de categorías? y (2) ¿Existen buenos libros de texto que utilicen este método?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No me atrevo a soltarlo, pero siempre hay una nota simpática que aprendí de otra respuesta de MO (no sé cuál): https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/glasgowpssl/banach.pdf . Tal vez esto satisfaga tu curiosidad, pero yo sostengo que se necesita una mente retorcida para identificar una formulación tan categórica de la integración como la forma "correcta" de pensar en las integrales.
En mi opinión, la ventaja del pensamiento categórico es que ayuda a organizar cálculos y argumentos que implican varios tipos diferentes de estructuras al mismo tiempo. Por ejemplo, la (co)homología trata de capturar invariantes útiles asociadas a una estructura complicada (por ejemplo, un objeto geométrico) en una estructura mucho más simple (por ejemplo, un grupo abeliano). Cuando queremos determinar cómo se comportan los invariantes bajo ciertas operaciones en la estructura complicada (por ejemplo, productos, (co)límites) ayuda tener una teoría ya establecida que nos diga qué pasará con la estructura más simple. Ahí es donde entra en juego la teoría de categorías, y las instancias de este paradigma son tan omnipresentes en álgebra y topología que la teoría de categorías ha cobrado vida propia. Parece que a la gente que trabaja en esas áreas le ha parecido conveniente incorporar construcciones categóricas a los fundamentos de su trabajo para enfatizar la generalidad (se pueden tratar las variedades algebraicas y las soluciones a ecuaciones diofánticas prácticamente de la misma manera), hacer un seguimiento de las diferentes nociones de equivalencia (por ejemplo, homotopía frente a homeomorfismo), construir nuevos tipos de espacios (por ejemplo, groupoides) y lograr muchos otros objetivos.
En muchos tipos de análisis, este tipo de abstracción no es necesaria porque a menudo sólo hay una estructura que controlar: $\mathbb{R}$ . Si lo pensamos bien, el análisis sólo es posible porque estamos dispuestos a sobrecargar seriamente $\mathbb{R}$ . Tomemos, por ejemplo, la expresión " $\frac{d}{dt}\int_X f_t(x) d\mu(x)$ " y considera todas las formas diferentes en que se utilizan los números reales. Se utiliza como un objeto geométrico (lo más probable es que X se construya a partir de alguna construcción que implique los números reales o un subespacio de los mismos), una forma de dar $X$ estructura adicional (no estaría de más adivinar que $\mu$ es una medida de valor real), un parámetro ( $t$ ), y un sistema de referencia ( $f$ probablemente toma valores en $\mathbb{R}$ o algo relacionado con ella). En geometría algebraica, uno probablemente se tomaría en serio cada una de estas funciones y entendería qué tipo de estructura deben aportar al problema. Pero parte del poder y la flexibilidad del análisis es que podemos barrer estas consideraciones bajo la alfombra y, en última instancia, reducir la mayoría de las complicaciones a consideraciones que implican a los números reales.
Dicho esto, las herramientas de la teoría de categorías y el álgebra homológica han empezado a abrirse camino en el análisis. Debido al hecho de que los analistas suelen considerar los problemas ligados a ciertos tipos muy específicos de estructura, históricamente se han centrado en proporcionar las soluciones más nítidas y detalladas a sus problemas en lugar de extraer los invariantes cualitativos burdos para los que el pensamiento cohomológico es más apropiado. Sin embargo, a medida que los analistas se han ido familiarizando con las profundas relaciones entre el análisis funcional y la geometría, han recurrido a ideas de la teoría de categorías para ayudar a mantener las cosas organizadas. La teoría K y la K-homología se han convertido en herramientas indispensables en la teoría de operadores; incluso existe un functor bivariante $KK(-,-) $ de la categoría de C -a la categoría de grupos abelianos relacionando las dos construcciones, y muchos teoremas profundos pueden subsumirse en la afirmación de que existe una categoría cuyos objetos son C -y cuyos espacios de morfismo vienen dados por $KK(A,B)$ . La homología y cohomología cíclicas también han cobrado gran relevancia en la interfaz entre el análisis y la topología.
Así que, en última instancia, creo que todo se reduce a qué tipo de sutilezas son más relevantes en un problema determinado. Hay algo fundamentalmente diferente en el tipo de pensamiento necesario para estimar la velocidad de propagación del operador de solución para una EDP no lineal en comparación con el tipo de pensamiento necesario para relacionar la teoría del punto fijo en la característica 0 de un grupo lineal que actúa sobre una variedad con la de la característica p.
dguaraglia
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Otros definitivamente pueden dar mejores opiniones, pero actualmente tengo "Conferencias y ejercicios sobre análisis funcional" de la biblioteca, y he disfrutado de las pocas partes que he leído hasta ahora.
No puedo opinar sobre el utilice de la teoría de categorías en el análisis, pero para las personas que no se sienten muy cómodas con campos más abstractos en los que la teoría de categorías desempeña un papel importante, un libro como el anterior es estupendo, ya que repasa gran parte de la teoría de categorías básica al tiempo que mantiene a los protagonistas del análisis. Como mínimo, es una buena forma de acostumbrarse al lenguaje.
kevtrout
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Esta respuesta de la wiki de la comunidad está dirigida al comentario del OP de que está buscando un enfoque "axiomático" de la integral.
No entiendo (todavía) qué tienen que ver los axiomas con la teoría de categorías. En particular, con respecto al ejemplo que pones, no veo qué tienen de especialmente categóricos los axiomas de Eilenberg-Steenrod (a menos que te refieras a la naturaleza functorial de la co/homología como uno de los axiomas).
Como ejemplo de tratamiento axiomático de la integral (de Riemann), véase la sección 2 de
http://math.uga.edu/~pete/243integrals1.pdf ( Wayback Machine )
(Nota: esto no es nada muy original. Por ejemplo, poco después de escribir esto vi que Lang tenía casi el mismo tratamiento en su texto de análisis de pregrado).
Aquí no veo teoría categorial alguna. ¿Es esto lo que tenía en mente? ¿Por qué sí o por qué no?
Tal vez te referías a la integral de Lebesgue y no a la integral de Riemann. A este respecto, diría que el enfoque de Daniell de la integral de Lebesgue (es decir, caracterizarla en términos de la terminación de un determinado espacio lineal normado) me parece "axiomático", pero no categórico.
