Demostrar que $\sin x + 2x \ge \frac{3x.(x+1)}{\pi} $

Question

Demostrar que $$\sin x + 2x \ge \frac{3x.(x+1)}{\pi}\quad\forall x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right].$$

Mi trabajo: $$ 3x^2 + (3-2\pi )x - \pi \sin x \le 0 $$ $$ f(x) = 3x^2 + (3-2\pi )x -\pi \sin x $$ $$f(0)=0 $$ $$f\left({\pi\over 2 }\right) ={\pi\over 2 }\left(1 -{\pi\over 2 } \right)$$

¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Pista: Tenemos $f''(x) = 6 + \pi\sin x$ . Y como $\sin x \ge -1$ para todos $x$ entonces $f''(x) \ge 5 > 0$ para todos $x$ .

Ahora utiliza la información de los extremos: $f(0)=0$ y $f\left({\pi\over 2 }\right) ={\pi\over 2 }\left(1 -{\pi\over 2 } \right) < 0$ .

Answer 2

En $\bf{L.H.S}$ es Cóncava y su gráfica pasa por $(0,0)$ y $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},1+\pi\right)$ .

Por lo tanto, es permanecer por encima de la línea de conexión Estos $2$ puntos.

Y $\bf{R.H.S}$ es Convexa y su gráfica pasa por $(0,0)$ y $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}+\frac{3\pi}{4}\right)$

De ahí que se quede por debajo de la línea que une estos $2$ puntos.

bcz $\displaystyle 1+\pi>\frac{3}{2}+\frac{3\pi}{4}$ . Así que la primera línea está por encima de la segunda línea , Dando los resultados.