Convergencia en la secuencia de distribución de una variable aleatoria exponencial

Question

Dada X- Exp(1) una variable aleatoria exponencial con parámetro de tasa = 1 y sea (Y) la secuencia de variables aleatorias reales independientes tales que

$$Y_n = \begin{cases} n & \text{if}\ 0\leq \ X < \frac{1}{n},\\ 0 & \text{if}\ \frac{1}{n}\leq X\end{cases} \quad \forall n \geq 1$$

Pregunta: ¿Converge (Y) en la distribución?

Necesito demostrar la convergencia explícitamente, así que he intentado encontrar la función de distribución Esto es lo que intenté hacer:

$$P(Y_n=n) = P(X \in [0, \frac{1}{n}]) = P(0 \leq X \leq \frac{1}{n}) = 1 - e^\frac{-1}{n}$$ $$P(Y_n = 0) = P(X\in[\frac{1}{n}, \infty])= P(\frac{1}{n}\leq X) = 1- P(X\leq\frac{1}{n}) = e^\frac{-1}{n}$$

Entonces pensé que Yn es un Bernoulli con estados 0 y n y probabilidad de éxito exp(-1/n) y mi función de distribución es algo así:

$$F_Y(x) = \begin{cases} 0 & \text{if}\ 0 < \ x ,\\ 1 - e^\frac{-1}{n} & \text{if}\ 0\leq x < n \\ 1 &\text{if}\ x \geq n\end{cases}$$

Pero no estoy seguro, ¿alguien puede ayudarme? Mi problema principal es cómo encontrar la función de distribución de una secuencia. Gracias

Answer 1

Para cualquier $\omega$ tenga en cuenta que $Y_n(\omega)=0$ para $n$ suficientemente grande. Por lo tanto, $Y_n \to 0$ casi con seguridad y esto implica convergencia también en la distribución.

Alternativamente tenemos:

Sea $x >0$ . $P(Y_n \leq x)=P(\frac 1 n \leq X)=e^{-\frac 1 n}$ para todos $n >x$ . Por tanto, el límite de $P(Y_n \leq x)$ es $1$ . Es evidente que $P(Y_n \leq x) \to 0$ para $x <0$ . Por lo tanto, la función de distribución límite $F$ es tal que $F(x)=1$ para $x >0$ y $0$ para $x <1$ . Esto significa que $Y_n \to 0$ en la distribución.