Buscar todas las funciones $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfaciendo $f(x + y) = x + f(y)$

Question

Estoy inmerso en la búsqueda de la comprensión de las ecuaciones funcionales e intento resolver el problema:

Buscar todas las funciones $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfaciendo $f(x + y) = x + f(y)$

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Sea $y = 0$ entonces:

$f(x + y) = x + f(y) \implies f(x) = x + f(0)$

Sea $y = -x$ entonces:

$f(x + y) = x + f(y) \implies f(0) = x + f(-x)$

Entonces

$f(x) = x + x + f(-x) = 2x + f(-x) \implies f(x) = 2x + f(-x)$

Creo que lo que he obtenido no es la respuesta definitiva ya que $f(-x)$ es una función en sí, pero estoy atascado. He estado intentando obtener un valor fijo para $f(0)$ para poder sustituirlo en mi primera igualdad, pero no creo que sea posible.

¿Cómo puedo proceder para obtener una forma general de la ecuación? ¿Es posible obtener una forma general?

Answer 1

Las soluciones de esta ecuación funcional son precisamente las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que sean de la forma $f(x)=x+c$ para todos $x\in\mathbb R$ donde $c\in\mathbb R$ es una constante.

Más concretamente, si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ son equivalentes:

(1) $f(x+y)=x+f(y)$ para todos $x,y\in\mathbb R$ ;

(2) existe algún $c\in\mathbb R$ tal que $f(x)=x+c$ para todos $x\in\mathbb R$ .

Prueba:

(1) $\Rightarrow$ (2) Si (1) se cumple, entonces, para cualquier $x\in\mathbb R$ , $f(x)=f(x+0)=x+f(0)$ . Defina $c\equiv f(0)$ .

(2) $\Rightarrow$ (1) Si (2) se cumple, entonces existe algún $c\in\mathbb R$ tal que $f(x)=x+c$ para todos $x\in\mathbb R$ . Por lo tanto, para cualquier $x,y\in\mathbb R$ : $$f(x+y)=(x+y)+c=x+(y+c)=x+f(y).$$

Answer 2

Primero demostraremos que $f(x)$ es diferenciable, y además que la derivada es $1$ en absoluto $x$ . Esto se ve fácilmente como

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h+f(x)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=\lim_{h\to 0}1=1.$$

Así $f(x)=x+c$ para alguna constante $c$ . ¿Podemos mejorarlo? Desgraciadamente, esto es todo lo que podemos aprender sobre $f(x)$ . Esto se debe a que para cualquier constante $c$ ,

$$f(x+y)=x+y+c=x+f(y)$$

y así $f(x)$ satisface la ecuación funcional.

Answer 3

Asumo que $$f(x + y) = x + f(y)$$ para todos los números reales $x$ y $y$ .

Establecer $y = 0$ . Entonces $$f(x) = x + f(0).$$ Sea $c = f(0)$ Así que $f(x) = x + c$ .

Introduciendo de nuevo la ecuación funcional, que se nos da, obtenemos $$x + y + c = x + y + c.$$

Así que la solución son todas las funciones de la forma $f(x) = x + c$ donde $c$ es una constante.