Números de Betti de espacios de moduli de superficies lisas de Riemann

Question

¿Dónde puedo encontrar una lista de los números de Betti conocidos de los espacios de moduli $\mathcal{M}_{g,n}$ del género $g$ Superficies de Riemann con $n$ ¿puntos marcados? Lo necesito para cotejar los resultados de un algoritmo implementado que debería producirlos utilizando el complejo de grafos de Kontevich.

Me interesa el espacio de moduli "abierto" formado por superficies conectadas lisas, no su compactificación de Deligne-Mumford $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ . Además, me interesan los números de Betti simples y no la característica de Euler, que conozco por ejemplo de Harar-Zagier y Bini-Gaiffi-Polito, y que utilicé para tener una primera comprobación de los resultados del algoritmo.

Gracias.

Edición: El artículo de Riccardo Murri con el algoritmo y su implementación ha aparecido en arXiv: http://arxiv.org/abs/1202.1820

Answer 1

Cálculos de integral homología de $\mathcal{M}_{g, n}$ se producen en Abhau, Bodigheimer, Ehrenfried (p. 3) o Godin (p. 4). Por supuesto, en el rango estable (grados $3* \leq 2g$ ) la cohomología racional es totalmente conocida (por la conjetura de Mumford, ahora teorema), y es un álgebra polinómica sobre un único generador en cada grado par. Así, los números de Betti en este rango vienen dados por funciones de partición.

Debo mencionar que los resultados de Godin se obtuvieron utilizando el complejo de grafos gordos, que es probablemente igual al complejo de grafos de Kontsevich para la operada asociativa.

Answer 2

Las referencias dadas por Oscar Randal-Willams sólo cubren $g\leq 2$ . Para $\mathcal{M}$$ _3 $ and $ \mathcal{M}_{3,1}$, se puede leer Looijenga , "Cohomología de $\mathcal{M}$$ _3 $ and $ \mathcal{M}^1_3$".

Para $\mathcal{M}$$ _{2,4} $, $ \ M3,2 $ and $ \mathcal{M}_4 $ the Betti numbers can be found in Bergström-Tommasi, "The rational cohomology of $ \overline{\mathcal{M}}_4$" ( Matemáticas. Annalen persona, arXiv versión), a veces resumiendo sus trabajos individuales. Por ejemplo, para $\mathcal{M}_4$ Tommasi ("Rational cohomology of the moduli space of genus 4 curves") demostró que $b_1=0$ , $b_2=1$ , $b_3=0$ , $b_4=1$ , $b_5=1$ y el resto son 0.

No ha especificado si los puntos marcados están etiquetados individualmente o si se permite permutarlos. Afortunadamente, Bergström-Tommasi calcula el $S_n$ --cohomología equivariante, así que puedes extraer de ese documento la respuesta que quieras.

Una observación: La fórmula para los números de Betti estables mencionada por Oscar Randal-Williams es para superficies cerradas; la fórmula para puntos marcados será diferente. Creo que la cohomología estable para superficies con puntos marcados puede deducirse probablemente de la conjetura de Mumford o de una de las muchas pruebas que tenemos ahora. Pero no sé dónde se ha escrito esto.

Answer 3

Complemento de otras respuestas en este hilo:

En primer lugar, cuando $n>0$ existe la descomposición de Penner (véase, por ejemplo, Harer, The cohomology of moduli spaces, LNM 1337 o Penner, Comm Math Phys 113, 299-339). Esto da en principio un complejo de dimensión finita que calcula la cohomología de los espacios de moduli gruesos. En la práctica, sin embargo, el número de celdas rápidamente se hace bastante grande y no estoy seguro de si alguien ha escrito un programa que implemente esto.

En $g=0$ la cohomología fue calculada por S. Keel (Transactions AMS, 330, 2, 545-574) para cualquier número de puntos. Keel también calcula la acción de los grupos simétricos, el producto taza y la estructura mixta racional de Hodge, que resulta ser una suma directa de las de Tate.

[actualizar: Keel está interesado principalmente en la cohomología de la compactificación de Deligne-Mumford y no me queda claro cómo deducir la cohomología de la parte abierta a partir de sus resultados. Así que he aquí una forma ad hoc de describir la cohomología de $M_{0,n}$ . Sea $H=H^*(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),\mathbf{Q})$ . Siguiendo a B. Totaro (Configuration spaces of algebraic varieties, Topology 35 (1996), no. 4, 1057--1067) forman el álgebra cdg $$F=H^{\otimes n}[a_{i,j}]/rels$$ donde $a_{i,j},i,j=1,\ldots, n, i\neq j$ son variables de grado 1 (por lo que anticonmutan con todo) y las relaciones $rels$ son

1. $a_{i,j}=a_{j,i}$ ;

2. las permutaciones cíclicas de $a_{i,j}a_{j,k}$ suman 0 donde $i,j,k$ son distintos por pares;

3. $a_{i,j}(h_i-h_j)=0$ donde $h_i=1\otimes\ldots\otimes h\otimes\ldots\otimes 1$ ( $h\in H$ en el $i$ -lugar), y de forma similar para $h_j$ .

El diferencial aniquila $H^{\otimes n}$ y toma $a_{i,j}$ al pullback de la clase de la diagonal bajo la proyección $p_{i,j}:\mathbf{P}^1(\mathbf{C})^{\times n}\to \mathbf{P}^1(\mathbf{C})^{\times 2}$ a la $i$ -y $j$ -factores.

La cohomología de $F$ es la cohomología del espacio $F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),n)$ de pedidos $n$ -de puntos distintos en $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ . El espacio de moduli es el cociente de $F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),n)$ por la acción de $PGL_2(\mathbf{C})$ . Ahora bien, para esta acción se cumple el principio de Leray-Hirsch: existe una clase de grado 3 cuya restricción a cada órbita genera el $H^3$ de la órbita. Para ver esto nótese que $F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),3)\cong PGL_2(\mathbf{C})$ . Si tomamos un generador de $H^3( F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),3),\mathbf{Q})$ y tomar la suma de sus retrocesos bajo todas las proyecciones posibles $F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),n)\to F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),3)$ Esto debería funcionar. Así que $$H^{\ast}(F(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),n))\cong H^{\ast}(PGL_2(\mathbf{C}))\otimes H^{\ast}(M_{0,n})$$ con $\mathbf{Q}$ -coeficientes.

Así que la receta para calcular digamos el complejo la cohomología de $M_{0,n}$ como $S_n$ -es la siguiente: formar un polinomio $f(t)=\sum c_i t^i$ donde $c_i=H^i(F)$ visto como un elemento del anillo de representación $R(S_n)$ de $S_n$ . Este polinomio es el producto de $1+t^3$ y algún otro polinomio $g$ que será el $S_n$ -polinomio equivariante de Poincar'e de $M_{0,n}$ .

Obsérvese también que si uno está interesado sólo en el polinomio de Poincar\'e y no en la acción de $S_n$ la respuesta es simplemente $(1+2t)(1+3t)\cdots (1+(n-2)t)$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cuál es la referencia para esto o si hay una mejor descripción de $H^*(M_{0,n},\mathbf{Q})$ o si la respuesta se ha tabulado para pequeños $n$ . Me interesaría saber la respuesta a cualquiera de estas preguntas].

Permítanme mencionar también dos resultados sobre las características de Euler que amplían Harer-Zagier. Bini y Harer dan una fórmula explícita para la característica de Euler de los espacios de módulos compactificados de Deligne-Mumford en http://arxiv.org/abs/math/0506083 ; E. Gorsky http://arxiv.org/abs/0906.0841 calcula el $S_n$ -equivariante de la característica de Euler de $M_{g,n}$ para un $n$ . Por Getzler-Kapranov esto también da la característica de Euler equivariante de los espacios de módulos compactados.

Answer 4

Complementando las respuestas anteriores:

En género cero, una referencia muy útil es Ezra Getzler, "Operads and moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces". Determina series generadoras para las $\Sigma_n$ -polinomios de Poincaré equivariantes de $\overline M_{0,n}$ y $M_{0,n}$ y demuestra la pureza de la cohomología de $M_{0,n}$ el grupo de cohomología $H^i(M_{0,n})$ lleva una estructura Hodge pura de peso $2i$ (de tipo Tate).

También dos pequeñas observaciones sobre la respuesta de algori. (i) Si no me equivoco, el mapa cociente $F(\mathbf P^1,n) \to M_{0,n}$ es de hecho un trivial $\mathrm{PGL}_2$ -ya que tiene una sección dada por la colocación de los tres primeros puntos en $0$ , $1$ y $\infty$ . Así las cosas son aún más sencillas. (ii) Si no te importa el $\Sigma_n$ -entonces se puede utilizar exactamente la misma herramienta (la secuencia espectral de Cohen-Taylor-Totaro) pero considerando en su lugar el espacio de configuración $$ M_{0,n} \cong F(\mathbf P^1 \setminus \{0,1,\infty\},n-3). $$ Desde $\mathbf P^1$ menos tres puntos tiene $H^0$ de peso $0$ y $H^1$ de peso $2$ y las diferenciales son compatibles con los pesos, se deduce que la secuencia espectral degenera inmediatamente, por lo que se pueden leer directamente los números de Betti y la pureza.

En género uno, hay un preprint reciente de Gorinov, disponible en http://www.liv.ac.uk/~gorinov/ que determina la cohomología de $M_{1,n}$ con su estructura de Hodge. Creo que lo que hace es lo siguiente:

Consideremos el espacio de configuración de $n$ puntos de una curva elíptica, $F(E,n)$ cociente por la acción de $E$ por traducción. La cohomología de este espacio puede calcularse mediante la secuencia espectral de Cohen-Taylor-Totaro. Si se tiene cuidado se puede incluso determinar la cohomología de $F(E,n)/E$ se construye a partir de (potencias simétricas de) $H^1(E)$ y algunos giros de Tate.

Consideremos ahora el mapa olvidadizo $\pi \colon M_{1,n}\to M_{1,1}$ . Los resultados del párrafo anterior indican cómo los sistemas locales $R^i \pi_\ast \mathbf Q$ se construyen a partir de potencias simétricas del "sistema local estándar", que es $R^1\pi_\ast \mathbf Q$ para $n=1$ . Por último, la cohomología de estos sistemas locales viene dada por la teoría de Eichler-Shimura; los grupos de cohomología vienen dados canónicamente por espacios de formas modulares para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$ . Hasta donde yo sé, la teoría de Eichler-Shimura es la única parte que es específica del género uno: todo lo demás funcionaría también sin cambios en los géneros superiores.

Quizás debería mencionar en este punto que hay mucho que leer sobre cómo calcular la cohomología de estos sistemas locales en $M_g$ cuando $g \geq 2$ . Para $g=2$ y $g=3$ puede leer una secuencia de artículos de Faber, van der Geer y Bergström, que trabajan en el cálculo/conjetura de las características de Euler de estos sistemas locales en el grupo Grothendieck de $\ell$ -representaciones galois ádicas mediante recuento de puntos. La característica de Euler no te da la cohomología, pero te da información parcial. En particular porque sabes que estos sistemas locales se retiran de $A_g$ y en $A_g$ la mayoría de los grupos de cohomología de estos sistemas locales desaparecen. (Hay abundante información en Faltings-Chai, capítulo 6.) Entonces se puede aplicar la secuencia exacta de Gysin para la imagen de $M_g$ en $A_g$ bajo el mapa de Torelli.

Permítanme por último hacer algunas observaciones sobre el género dos. Si sólo quieres los números de Betti (es decir, no te importa la torsión), entonces hay maneras más fáciles que los documentos vinculados por Oscar Randal-Williams. Cuando $n=0$ existe un isomorfismo $M_2 \cong M_{0,6}/\Sigma_6$ en espacios de moduli gruesos: toda curva de género dos es hiperelíptica, y una curva hiperelíptica está determinada unívocamente por el $2g+2$ puntos de ramificación en $\mathbf P^1$ bajo el mapa hiperelíptico. Por tanto, racionalmente, basta con tomar la $\Sigma_6$ -en la descripción de Getzler de la cohomología de $M_{0,n}$ y te das cuenta de que $M_2$ tiene la cohomología racional de un punto.

En $n=1$ se aplica la secuencia espectral de Leray para $\pi \colon M_{2,1} \to M_2$ . Los sistemas locales $R^0\pi_\ast\mathbf Q$ y $R^2\pi_\ast\mathbf Q$ son triviales, y $R^1\pi_\ast\mathbf Q$ no tiene cohomología ya que cada punto de $M_2$ tiene la involución hiperelíptica en su grupo de automorfismo, que actúa como multiplicación por $-1$ en las fibras de este último sistema local (esto también utiliza que se toman coeficientes racionales). Se concluye que $H^\ast(M_{2,1}) \cong H^\ast(\mathbf P^1)$ .

Nótese que esto se generaliza a curvas hiperelípticas de cualquier género: siempre se tiene que $H_g$ tiene la cohomología racional de un punto, y $H_{g,1}$ la cohomología de $\mathbf P^1$ .

Para $n=2$ necesitas calcular la cohomología de los sistemas locales $V_{2}$ y $V_{1,1}$ en $M_2$ . Getzler consigue determinar todos los números de Betti menos dos sin esta información en "Topological recursion relations in genus two" y expresa los números de Betti finales en términos de su cohomología. La cohomología de estos sistemas locales puede encontrarse en el trabajo más reciente de Hulek y Tommasi, "Cohomology of the second Voronoi compactification of $A_4$ ", Apéndice A. (Este apéndice también contiene algunas cosas útiles para $M_3$ .) En conjunto, estos trabajos determinan los números de Betti de $M_{2,2}$ . Supongo que también se pueden calcular los números de Betti de $M_{2,3}$ de esta información, ya que los únicos sistemas locales "nuevos" que aparecen para $n=3$ tienen peso impar por lo que su cohomología desaparece, pero no me he sentado a calcular la secuencia espectral de Leray aquí.

Los números de Betti para $M_{2,4}$ sospecho que son desconocidos. Tom Church escribe más arriba que se pueden encontrar en Bergström-Tommasi, pero creo que es una interpretación errónea de su artículo. Como escribe Tom, gran parte del artículo de Bergström y Tommasi resume sus trabajos anteriores, realizados por separado y con métodos diferentes. El trabajo de Tommasi utiliza el método de Vassiliev-Gorinov para calcular la cohomología de los complementos de los discriminantes. Así se obtiene el polinomio de Poincaré-Serre y, en particular, los números de Betti. Bergström utiliza el recuento de puntos en campos finitos, lo que da la característica de Euler en la categoría de $\ell$ -(o lo que llaman la característica de Hodge Euler), pero NO en general los números de Betti. Los resultados sobre $M_{2,n}$ se deben a Bergström en "Equivariant counts of points of the moduli spaces of pointed hyperelliptic curves".