cuál es el número máximo de ángulos agudos

Question

¿Cuál es el número máximo de ángulos agudos en un octógono convexo en el plano euclídeo?

Sé que la respuesta es al menos $4$ .

Alguna idea de cómo proceder.

Answer 1

No, la respuesta es $3$ de hecho, ningún polígono convexo puede tener más de $3$ ángulos agudos, esto se debe a que la suma de los ángulos externos es $360$ y un ángulo exterior en un vértice para un ángulo agudo interior es mayor que $90$ grados.

Answer 2

Sólo para completar, el otro día, mientras trataba de encontrar una respuesta para el caso de 5-gon, encontré la respuesta para el caso de n-gon. Aquí está la respuesta:

En una convexa $N$ -gon, si tomamos el número máximo $n$ de ángulos interiores $\alpha_i$ menos de $\frac{\pi}{2}$ . $$\forall i \in \left\{0,...,n \right\}; \quad \alpha_{i}<\frac{\pi}{2}$$

En todos $N$ -gon, la suma de todos los ángulos interiores $\theta_i$ es:

$$\Theta = \sum_{i=1}^{N}\theta_i=\pi \left( N-2 \right) $$

Si tomamos el resto $N-n$ ángulos interiores, denominados $\beta_j$ tenemos:

$$\Theta = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i+\sum_{j=1}^{N-n}\beta_j=\pi (N-2)$$

y conociendo los siguientes hechos:

$$\forall i \in \left\{1,n \right\}; \quad \alpha_i<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\alpha_i<\frac{\pi}{2}n$$

$$\forall j \in \left\{1,N-n \right\}; \quad \beta_i<\pi \Rightarrow \sum_{i=1}^{N-n}\beta_i<\pi (N-n)$$

$$\Rightarrow \Theta = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i+\sum_{j=1}^{n-N}\beta_j<\frac{\pi}{2} \left( n + 2(N-n) \right)= \frac{\pi}{2} \left( 2N-n \right)$$

$$\Rightarrow \Theta <\frac{\pi}{2} \left( 2N-n \right) $$

$$\Rightarrow \pi (N-2) < \frac{\pi}{2} \left(2N-n \right)$$

$$\Rightarrow 2(N-2)<2N-n$$

$$\Rightarrow 2n-4 < 2N-n$$

$$\Rightarrow n < 4 $$

$$\Rightarrow n=3 \quad \blacksquare$$

Answer 3

Los ángulos del 10-gon deben sumar $8\cdot 180^\circ = 1440^\circ$ . Si hay $4$ ángulos agudos, entonces suman menos de $360^\circ$ lo que significa que el resto $6$ ángulos deben sumar más de $1080^\circ$ imposible, ya que cada una es como máximo $180^\circ$ .

Por otra parte, para tener $3$ ángulos agudos, dibuja cuatro segmentos consecutivos que casi formen un cuadrado y une los dos vértices extremos con seis segmentos cortos.

Answer 4

Lo vas a tener difícil para llegar a 4. Piensa en esto: Si tienes un ángulo obtuso en el 10-gon, sustitúyelo por una línea recta. Eliminas un ángulo y los dos ángulos que modificaste se hicieron más agudos. Ahora prueba que el mayor $n$ tal que se tiene una convexa $n$ -gon con sólo ángulos agudos es 3.