¿Por qué el campo eléctrico desaparece en el infinito?

Question

En $r \rightarrow \infty$ , $E \rightarrow 0$ para una carga puntual o un conjunto de cargas o una distribución de cargas finita. Aunque esto parece obvio, no puedo encontrar una razón por la que esto sea cierto al inspeccionar las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Pensaba, sin embargo, que toda la electrodinámica estaba contenida en las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. ¿Por qué entonces $E \rightarrow \infty$ cuando $r \rightarrow 0$ .

Answer 1

Tienes razón en que la desaparición del campo no no se deducen únicamente de la ley de fuerza de Lorentz y de las ecuaciones de Maxwell. Se necesita un argumento físico adicional:

Si no tuvieras $E\to 0$ como $r\to\infty$ tendrías una fuerza no evanescente $F = qE \neq 0$ en el infinito. Eso no tiene sentido físico porque significaría que una carga influye en cargas que están infinitamente lejos mensurablemente . Es el condición física límite que debemos imponer a las soluciones físicas de las ecuaciones de Maxwell con el fin de preservar la localidad, de lo contrario estaríamos viviendo en un universo donde cada carga tira o empuja a cada otra carga de una manera no legible, sin importar dónde se encuentren estas cargas.

Es bastante evidente que eso no describe nuestro universo.

Answer 2

Ya que hablas de carga puntual, comprobemos la ley de Gauss (para empezar con algo bien conocido)

$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

Sabemos que la divergencia tiene algo que ver con el flujo a través de alguna superficie cerrada (la superficie esférica es la mejor) alrededor del $\rho$ - lo mismo en forma integral es:

$\oint\limits_{\delta\Omega} E \cdot dS = \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_\Omega \rho dV$

$\Omega$ es el volumen alrededor de su carga (esfera para nosotros), $\delta \Omega$ es la superficie del $\Omega$ . Creo que puedo usar la función delta para la carga puntual $\rho=\delta(x,y,z)$ . De esta forma reducimos la parte derecha de la anterior a $\frac{1}{\epsilon_0}$ ciertamente podemos tener una carga de un electrón $e$ o algún $q$ pero siempre constante.

$\oint\limits_{\delta\Omega} E \cdot dS = const$

significa, que cualquier esfera $\Omega$ (diámetro $R$ ) que utilicemos, la integral de $E$ sobre su superficie es constante.

El último paso : $\oint\limits_{\delta\Omega} 1 \cdot dS$ es la superficie y va como $R^2$ con $R \rightarrow \infty$ . Para mantener constante la integral anterior, se necesita $E \sim \frac{1}{R^2}$ . La respuesta es $E \sim \frac{1}{R^2} \rightarrow 0$ para $R\rightarrow \infty$

¿Es correcto? Me pregunto por qué \oiint no funciona...

Answer 3

Usando V.E=p/e0 en forma integral que es la ley de gauss obtienes tu primera respuesta E va a cero cuando r va al infinito.