Este es el último ejercicio de un trabajo de ejercicios bastante desafiante que tiene un amigo que está cursando cálculo y al que estoy tratando de ayudar. Ya la ayudé haciendo el otro montón. Pero este me ha pillado. Apreciaré cualquier ayuda para ver mi trabajo y para decirme si es correcto o si necesito corregir algo.
El ejercicio es:
Si $f'(a)=1$ para $a>0$ encuentra $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$ .
Lo que se me ocurrió fue racionalizar el denominador.
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$$
$$=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$$
$$=\lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{x-a}$$
$$=\lim_{x \to a} \left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{a})\right)$$
$$=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$
$$=f'(a)\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$
$$=1\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$
$$=\lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$
$$=\sqrt{a}+\sqrt{a}$$
$$=2\sqrt{a}$$
