Este es el último ejercicio de un trabajo de ejercicios bastante desafiante que tiene un amigo que está cursando cálculo y al que estoy tratando de ayudar. Ya la ayudé haciendo el otro montón. Pero este me ha pillado. Apreciaré cualquier ayuda para ver mi trabajo y para decirme si es correcto o si necesito corregir algo.
El ejercicio es:
Si f′(a)=1 para a>0 encuentra lim .
Lo que se me ocurrió fue racionalizar el denominador.
\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}
=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}
=\lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{x-a}
=\lim_{x \to a} \left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{a})\right)
=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})
=f'(a)\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})
=1\cdot \lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})
=\lim_{x \to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})
=\sqrt{a}+\sqrt{a}
=2\sqrt{a}
