Cuerno de Gabriel, cálculo Integración

Question

El cuerno de Gabriel se forma girando la curva $y=1/x$ para $x\in [1,\infty)$ sobre el $x$ -Eje.

Encuentra el volumen dentro del cuerno de Gabriel. Tengo la respuesta pero no consigo acertar. ¿Puede alguien explicármelo?

Answer 1

Lo que debes hacer para hallar el resultado es evaluar la siguiente integral $$\int_1^\infty \pi y^2 dx$$ en el que $y=\frac{1}{x}$ . Se puede dibujar un disco como se ve en la figura de abajo. Construimos este disco en $x$ - ejes, por lo que su volumen es el volumen del cilindro coloreado. ¿Cuál es ese volumen? Es $\pi r^2 h$ . ¿Qué es el $r$ y lo que es $h$ En efecto, $r$ es $y$ y $h$ es $dx$ .

Answer 2

$$ x \, y = a^2$$

punto de partida $(a,a)$

punto final $(\infty, 0)$

$$ \int_a^\infty { \pi y^2 \, dx} = \pi a^3 $$

que es $ \frac 34 $ volumen de la esfera de radio $a.$