En mis apuntes de clase hay una nota al margen de la demostración del ejemplo siguiente que dice que la última desigualdad $\frac{14}{n}\lt{\epsilon}$ en la ecuación no siempre es cierta y sólo se cumple bajo la condición de que $n\gt \frac{14}{\epsilon}$ de ahí que la frase continúe con la condición "siempre que $n\gt \frac{14}{\epsilon}$ ".
Estoy confundido y no veo este punto. ¿Puede alguien por favor explicarme cuando esto no se cumple, para que podamos proceder con la siguiente frase. Después de encontrar una desigualdad adecuada para $n_0$ en otros ejemplos suelo proceder simplemente con "toma $n_0 \in \mathbb{N}$ con $n_0\gt ...$ ".
Ejemplo :
Sea $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ viene dada por $$x_n=\frac{3n-2}{n+4}.$$ demuestre que $x_n\rightarrow{3}$ como $n\rightarrow{\infty}$ directamente de la definición.
Solución :
Sea $\epsilon \gt{0}$ . Para $n\in \mathbb{N}$ tenemos $$\left\lvert {\frac{3n-2}{n+4}-3} \right\rvert =\left\lvert{\frac{3n-2-3(n+4)}{n+4}}\right\rvert=\frac{14}{n+4}\lt\frac{14}{n}\lt{\epsilon},$$
proporcionado $n\gt\frac{14}{\epsilon}$ . Toma $n_0\in \mathbb{N}$ con $n_0\geq\frac{14}{\epsilon}$ . Entonces para $n\in \mathbb{N}$ con $n\geq n_0$ tenemos $|x_n -3|\lt3$ de modo que $x_n\rightarrow3$ como $n\rightarrow\infty$ .
