¿Cuál es la derivada de $x^i$ ?

Question

¿Cuál sería la derivada de $x^i$ ? ¿Sería simplemente $ix^{(1-i)} $ ? He probado a ejecutar la regla Power y he obtenido que ¿es correcto?

Answer 1

Sea $c \in \Bbb C$ cualquier número complejo. Por definición, la función $f(x) = x^c$ viene dada por $\exp(c \log x)$ donde, normalmente, tomamos $\log$ para ser la rama principal del logaritmo. Esta función no es diferenciable en ningún punto de $(-\infty, 0]$ (aunque es diferenciable en todos los demás casos). Por lo tanto, tenemos que suponer que $x \in \Bbb C \setminus (-\infty, 0]$ . Si este es el caso,

\begin{align*} f'(x) &=c \left( \frac{d}{dx} \log x \right) \exp( c \log x)\\ &= c \frac1{x} \exp(c \log x)\\ &= c \exp(-\log x) \exp(c \log x)\\ &= c \exp( (c -1) \log x) \\ &= c x^{c -1} \end{align*}

En el caso particular de que el número complejo $c$ es igual a $i$ tenemos:

$$\frac{d}{dx} x^i = ix^{i-1}$$

Answer 2

Asumiré que $x \in \mathbb{R}$ y luego $f(x) = x^{i}$ es una función de valor complejo de una variable real. Una definición típica del símbolo $x^{i}$ de verdad $x$ es $$x^{i} = \exp(i\log x)$$ donde el símbolo $\exp(a + ib)$ de verdad $a, b$ se define como $$\exp(a + ib) = \exp(a)(\cos b + i\sin b)$$ Así $f(x)$ sólo se define para $x > 0$ y tenemos $$f(x) = \cos\log x + i\sin\log x$$ y por lo tanto \begin{align} f'(x) &= -\frac{\sin \log x}{x} + i\frac{\cos \log x}{x}\notag\\ &= \frac{i}{x}\{\cos \log x + i\sin\log x\}\notag\\ &= \frac{i}{x}\exp(i\log x)\notag\\ &= \frac{i}{x}x^{i}\notag\\ &= ix^{i - 1}\notag \end{align} En $x \in \mathbb{C}$ entonces es mejor utilizar el símbolo $z$ en lugar de $x$ y entonces también la derivada es la misma, pero esto requiere un conocimiento de teoría de funciones analíticas elementales como $\exp(z),\log(z)$ para $z \in \mathbb{C}$ . Ahmed Hussein ya ha dado una respuesta basada en estos conocimientos.