Dada una secuencia de conjuntos $\{E_j\}$ define $F_1=E_1$ y $F_j=E_j-(E_1\cup\dots\cup E_{j-1})$ para $j>1$ . ¿Por qué $\bigcup E_j=\bigcup F_j$ ?

Question

$\{ E_j \}_{j=1}^{\infty}$ secuencia de conjuntos

Definimos $\{ F_j \}_{j=1}^{\infty}$ con \begin{align} &F_1=E_1 \\ &F_j=E_j-(E_1 \cup \cdots \cup E_{j-1}) \ (j\geqq 2) \end{align}

Entonces, demuestre que

$ F_j \cap F_k= \varnothing$ para $j\neq k$ .

$\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j =\bigcup_{j=1}^{\infty} F_j $ .

Podría probar $ F_j \cap F_k=\varnothing$ para $j\neq k$ pero no puedo probar $\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j =\bigcup_{j=1}^{\infty} F_j $ .

Porque $F_j=E_j-(E_1 \cup \cdots \cup E_{j-1})\subset E_j$ para todos $j$ , $\bigcup_{j=1}^{\infty} F_j \subset\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j $ retenciones.

No tengo ni idea de probar $\bigcup_{j=1}^{\infty} F_j \supset\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j .$

Answer 1

Considere algunos $x\in \bigcup \limits_{j=1}^\infty E_j$ . Por definición $x\in E_j$ para algunos $j$ y nos gustaría decir que $x\in F_j$ . Pero ¿y si, por ejemplo. $x\in E_{j-1}$ ¿también? Debemos asegurarnos de que la definición de $F_j$ no mata nuestro elemento $x$ . Podemos hacerlo utilizando el principio de ordenación de los números naturales: Existe un mínimo $j_0$ st $x\in E_{j_0}$ y $x\notin E_k$ para $k<j_0$ . Pero entonces $x \in F_{j_0}$ y así $x \in \bigcup_{j=0}^\infty F_j$ .