Determinación de la distribución límite mediante funciones de generación de momentos

Question

Pregunta: Que $Z_{i}$ ~ $N(0,1)$ sean variables aleatorias independientes para i = 1,2,.... . Obtenga la distribución límite de $$\frac{1}{\sqrt{n}}\Bigl(\sum_{i=1}^n\Bigl(Z_{i} + \frac{1}{n}\Bigr)\Bigr)$$ utilizando funciones generadoras de momentos.

Hasta ahora lo he hecho: Que $Y_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum_{i=1}^n(Z_{i} + \frac{1}{n}))$

$\\M_{y_n}(t)=E(e^{ty_n})=E(exp(t[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n(Z_{i} + \frac{1}{n})]))=...=e^\frac{t}{\sqrt{n}}\prod_{i=1}^nE(exp\frac{t}{\sqrt{n}}Z_{i})=e^\frac{t}{\sqrt{n}}(M_{Z_i}(\frac{t}{\sqrt{n}}))^n$

No sé muy bien a dónde ir a partir de ahora. Creo que puedo aplicar la expansión de Taylor a $M_{Z_i}(\frac{t}{\sqrt{n}})$ en 0, pero ¿cómo puedo trabajar con el $\frac{t}{\sqrt{n}}$ ? ¿Debo tomar la derivada de esa función y calcularla en cero? Probablemente es un concepto simple que no estoy entendiendo, así que cualquier aclaración me ayudaría, ¡gracias!

Answer 1

Por las propiedades de los RV gaussianos (sin relación con los MGF),

$$ Z_i \sim \mathcal{N}(0, 1) \Rightarrow (Z_i + \frac{1}{n}) \sim \mathcal{N}\left(\frac{1}{n}, 1\right). $$

El MGF de esta distribución es

$$ e^{\frac{t}{n} + t^2} $$

Como los VR son independientes, la suma ponderada tiene una forma sencilla

$$ \left( e^{\frac{t}{n\sqrt{n}} + \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^2} \right)^n = e^{\frac{t}{\sqrt{n}} + t^2} . $$

En el límite, esto es $$ e^{t^2}, $$

que es el MGF de $\mathcal{N}(0, 1)$ .