En esta demostración de la forma normal de Jordan en el libro de Kaye y Wilson, entonces para una transformación $T$ con polinomio mínimo $m(x) = (x-e)^k$ toman una base de $\texttt{ker}\;T$ y extenderlo a una base de $\texttt{ker}\;T^2$ ..., ampliarlo a una base de $\texttt{ker}\;T^k$ . A continuación, toman los elementos $a_1,...,a_n$ en $\texttt{ker}\;T^k$ pero no $\texttt{ker}\;T^{k-1}$ entonces toma $b_i = T(a_i)$ y reclamar el $b_i$ , $a_j$ forman un conjunto linealmente independiente, por lo que entonces amplían la lista de los $b_i$ de modo que la envergadura del $a_j$ , $b_i$ es $\texttt{ker}\;T^{k-1}$ no $\texttt{ker}\;T^{k-2}$ . Luego toman $c_i = T(b_i)$ y continuar con este proceso.
Después de la demostración dicen que el punto crucial es que la modificación de la base sí da una base. Entonces el lema que demuestran es: Si $ \{u_1,...,u_r \}$ es una base para $\texttt{ker}\;T^j$ se amplía a una base de $\texttt{ker}\; T^{j+1}$ $\{u_1,...,u_r,v_1,...,v_s\}$ y a una base $\{u_1,...,u_r,v_1,...,v_s,w_1,...,w_t\}$ de $\texttt{ker}\;T^{j+2}$ entonces $\{u_1,...,u_r,T(w_1),...,T(w_t)\}$ es un subconjunto linealmente independiente de $\texttt{ker}\;T^{j+1}$ .
No puedo entender por qué prueban $\{u_1,...,u_r,T(w_1),...,T(w_t)\}$ es linealmente independiente - ¿dónde entra esto en la demostración de la forma normal de Jordan? Para la prueba de la forma normal de Jordan seguramente querrían demostrar que $\{w_1,...,w_t,T(w_1),...,T(w_t)\}$ es linealmente independiente ya que en la prueba afirman que el $b_i$ , $a_j$ forman un conjunto linealmente independiente (en cuyo caso no necesitarían ampliar la base de $u_i$ a una base de $u_i$ , $v_j$ y después a una base $u_i$ , $v_j$ , $w_k$ - no necesitarían el $u_i$ en absoluto).
