¿Implican estas condiciones linealidad para una función real definida en $R^n$ ?

Question

Sea $f:R_+^n\rightarrow R$
Supongamos que $f$ cumple las tres propiedades siguientes:
(a) $f(v+r)=f(v)+r$ para todos $v\in R_+^n$ y $r\geq0$
(b) $f(\alpha v)=\alpha f(v)$ para todos $v\in R_+^n$ y $\alpha\geq0$
(c) Si $u+v=(k,\cdots,k)$ para algunos $k\geq0$ entonces $f(u+v)=k=f(u)+f(v)$

Pregunta:
¿Es cierto que $f(u+v)=f(u)+f(v)$ para todos $u,v\in R_+^n$ ? Si no es así, ¿qué condiciones adicionales necesito?

Nota $v+r$ Quiero decir vector $(v_1+r,\cdots,v_n+r)$ . Por $\alpha v$ Quiero decir vector $(\alpha v_1,\cdots,\alpha v_n)$

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Puedo probar por $n=2$ :
Dado cualquier $a\geq b$ por (c) tenemos $f(a,a)=f(a,0)+f(0,a)=f(a,b)+f(0,a-b)$ .
Esto implica $f(a,b)=f(a,0)+f(0,a)-f(0,a-b)=f(a,0)+bf(0,1)=f(a,0)+f(0,b)$ . Aquí utilizo (b).

Por lo tanto $f(u+v)=f(u_1+v_1,0)+f(0,u_2+v_2)=f(u_1,0)+f(0,u_2)+f(v_1,0)+f(0,v_2)=f(u)+f(v)$

Para $n>2$ No sé cómo demostrarlo. ¿Alguien tiene alguna idea? Gracias.

Answer 1

Creo que para $n>2$ hay contraejemplos. Supongo que el siguiente es un ejemplo de dimensión $3$ . Podemos dividir $R_+^3$ en tres partes. La primera son los vectores con todas las coordenadas iguales, que tiene la forma $(x,x,x)$ . Por tanto, según la definición tenemos $f(x,x,x)=x$ . La segunda parte consiste en los vectores que tienen exactamente dos coordenadas iguales, y tomamos el valor bajo la función $f$ el valor de las mismas coordenadas, lo que significa que $f(x,x,y)=f(x,y,x)=f(y,x,x)=x$ cuando $x\neq y$ . Y la última parte son los vectores con todas las coordenadas con distinto valor. Definimos el valor de $f$ por $f(x,y,z)=x$ . Se puede comprobar que la función $f$ cumple las propiedades anteriores, pero no es lineal, ya que $f(0,1,1)=1\neq 0= f(0,1,0)+f(0,0,1)$ .