Si la matriz $A$ ortogonal entonces $A^2$ ¿es ortogonal?

Question

Si las matrices $A\in M_n(\mathbb R)$ ortogonales, entonces $A^2$ puede ser ortogonal pero no tiene por qué serlo?

Mi respuesta que $A^2$ es siempre ortogonal, demuestro que $\|A^2x\|=\|x\|$ ¿pero hay alguna solución mejor para demostrarlo?

Answer 1

Sí, tiene que ser ortogonal. Supongamos que $A$ es ortogonal. Esto significa que $A^t.A=\operatorname{Id}$ . Pero entonces \begin{align}(A^2)^t.A^2&=(A.A)^t.A.A\\&=A^t.A^t.A.A\\&=A^t.\operatorname{Id}.A\\&=A^t.A\\&=\operatorname{Id}.\end{align} Por lo tanto, $A^2$ también es ortogonal.

Answer 2

$A$ es ortogonal $ \iff$ $A^T=A^{-1}$

$$ A^{-1}=A^T \implies A^{-2}=(A^T)^2=(A^2)^T$$

$$ (A^2)^{-1}=(A^2)^{T}$$

$A$ es ortogonal $\implies$ $A^2$ es ortogonal.

Answer 3

Una matriz cuadrada es ortogonal si y sólo si sus columnas son ortonormales. Para índices de columna $j,k \in \{1, \ldots, n\}$ tenemos

$$\sum_{i=1}^n (A^2)_{ij}(A^2)_{ik} = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{r=1}^n A_{ir}A_{rj}\right)\left(\sum_{s=1}^n A_{is}A_{sk}\right) = \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \left(\sum_{i=1}^n A_{ir}A_{is}\right)A_{rj}A_{sk}\\ = \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \delta_{rs}A_{rj}A_{sk} = \sum_{r=1}^n A_{rj}A_{rk} = \delta_{jk}$$

así que $A^2$ es ortogonal.