Supongamos que $f : Y \to X$ es un morfismo birracional, y $E$ es algún divisor excepcional efectivo en $Y$ . El lema de negatividad dice que $E \cdot C \leq 0$ para cualquier curva $C$ contratado por $f$ . Me pregunto acerca de una especie de inversa: supongamos que $C$ es una curva tal que $E \cdot C < 0$ . Debe $C$ ser contratado por $f$ ? ¿Garantizaría alguna condición adicional que así fuera?
Respuestas
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No. $E\cdot C<0$ implica que $C\subseteq E$ pero puede que no se contraiga. De hecho, si $E$ no se contrae a un punto, entonces muchas curvas en $E$ será así.
Supongamos que $f$ es el ensanchamiento de una subvariedad lisa de una variedad lisa $\Sigma\subset X$ y $E=f^{-1}(\Sigma)$ . Entonces $f|_E:E\to\Sigma$ est un $\mathbb P^n$ -y $\mathscr O_Y(E)|_E\simeq \mathscr O_{E/\Sigma}(-1)$ . En otras palabras, $-E|_E\sim H$ donde $H$ es un $f$ -muestra de divisor efectivo. Ahora bien, si $C\subset E$ es tal que $f|_C$ no es constante, pero $C\cap H\neq\emptyset$ entonces $E\cdot C<0$ pero $C$ no se contrae.
Para ver que esto puede ocurrir realmente, basta con tomar $X$ que sea un triple suave, $\Sigma\subset X$ una curva propia suave. A continuación, $E\to\Sigma$ es una superficie reglada y $H\subset E$ es una sección. Si $C$ es otra (multi)sección que interseca $H$ cumplen el criterio anterior.
Por cierto... El lema de negatividad no implica lo que dices. Si hay más de un divisor excepcional, digamos $E_1$ y $E_2$ entonces para cualquier curva contraída elegida de forma que $C_1\subseteq E_1$ y $C_1\not\subseteq E_2$ se deduce fácilmente que $E_2\cdot C_1\geq 0$ .
En particular, si digamos $X$ es una superficie con un $A_2$ singularidad, entonces el conjunto excepcional consiste en dos curvas $E_1$ y $E_2$ ambos tienen auto-intersección $-2$ pero $E_1\cdot E_2=1$ .
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Estimado Anónimo, en general la respuesta a su primera pregunta es no. La condición E.C<0 garantiza por supuesto que C está contenido en E, pero no hay razón para que se contraiga (a menos que f contraiga E a un punto, lo que supongo que da respuesta a la segunda pregunta).
Por ejemplo, sea X una variedad Calabi-Yau de dimensión 3, C una curva racional suave en X con haz normal O(-1)^2, e Y el ensanchamiento de X a lo largo de C. Entonces el divisor excepcional E es isomorfo a P^1 x P^1, y la restricción de f a E es sólo proyección. Si ahora $\Gamma$ es una sección de la proyección $f_{|E}$ por adición se calcula que $E.\Gamma = K_E.\Gamma = -2$ pero f mapea $\Gamma$ isomórficamente sobre C --- en particular, no lo contrae.
