Podemos utilizar la representación por transformada de Hankel del término gaussiano ( DLMF ): \begin{equation} \int_{0}^{\infty}J_{\nu}\left(bt\right)\exp\left(-p^{2}t^{2}\right)t^{\nu+1}% \mathrm{d}t=\frac{b^{\nu}}{(2p^{2})^{\nu+1}}\exp\left(-\frac{b^{2}}{4p^{2}}% \right) \end{equation} con $\nu=0,p=1/2$ para expresar (cambiando el orden de integración) \begin{align} I(x)&=\int_0^\infty k e^{-k^2} J_0(kx)Y_0(kx)~\mathrm{d}k \\ &=\frac{1}{2}\int_0^\infty te^{-t^2/4}\,dt\int_0^\infty k J_0(kt) J_0(kx)Y_0(kx)~\mathrm{d}k \end{align} La integral del triple producto de la función de Bessel es (para una demostración, véase Watson, "Theory of Bessel functions", §13.46): \begin{equation} \int_{0}^{\infty}Y_{\nu}\left(ak\right)J_{\nu}\left(bk\right)J_{\nu}\left(ck% \right)k^{1+\nu}\mathrm{d}k=\begin{cases}-\dfrac{(abc)^{\nu}(-A)^{-\nu-\frac{1% }{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}}2^{\nu+1}\Gamma\left(\frac{1}{2}-\nu\right)},&0<a<|b-c% |,\\ 0,&|b-c|<a<b+c,\\ \dfrac{(abc)^{\nu}(-A)^{-\nu-\frac{1}{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}}2^{\nu+1}\Gamma% \left(\frac{1}{2}-\nu\right)},&a>b+c.\end{cases} \end{equation} donde $A=s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2$ . En este caso, elegimos $\nu=0,a=x,b=t,c=x$ y, por tanto $A=-\left( t^2/4-x^2 \right)t^2/4$ . Esta integral es distinta de cero si $t>2x$ . En este caso, \begin{equation} \int_{0}^{\infty}Y_{\nu}\left(ak\right)J_{\nu}\left(bk\right)J_{\nu}\left(ck% \right)k^{1+\nu}\mathrm{d}k=-\frac{t^{-1}\left( t^2/4 -x^2\right)^{-1/2}}{\pi} \end{equation} Utilizando simples cambios de variables y una representación integral de la función de Bessel modificada ( DLMF ), tenemos entonces \begin{align} I(x)&=-\frac{1}{2\pi}\int_{2x}^\infty \frac{e^{-t^2/4}}{\sqrt{t^2/4-x^2}}\,dt\\ &=\frac{-1}{\pi}\int_0^\infty e^{-x^2\cosh^2u}du\\ &=-\frac{e^{-x^2/2}}{\pi}\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2}\cosh 2u}\,du\\ &=-\frac{e^{-x^2/2}}{2\pi}\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2}\cosh v}\,dv\\ &=-\frac{e^{-x^2/2}}{2\pi}K_0\left( \frac{x^2}{2} \right) \end{align} como se esperaba.
