Demostrar que $2222^{5555}+5555^{2222}=3333^{5555}+4444^{2222} \pmod 7$

Question

Soy completamente nuevo en la aritmética modular y estoy teniendo problemas con esta demostración.

$$2222^{5555}+5555^{2222}=3333^{5555}+4444^{2222} \pmod 7$$

Es porque $2+5=3+4=7$ pero no lo tengo tan claro con la presencia de poderes.

Quizá alguna explicación ayudaría.

EDITADO Alguna errata grave

EDITAR Dado que algunos argumentos en contra aparecen aquí es : WolframAlpha

EDITAR Lo anterior es incorrecto. Agradezco las pruebas de que es incorrecto. Lo siento por los demás.

Answer 1

En primer lugar, puede cambiarlo por $3^{5555} + 4^{2222} \equiv 1^{5555} + 6^{2222} \pmod{7}$ .

A continuación, observe que $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ , $4^3 \equiv 1 \pmod{7}$ y $6^2 \equiv 1 \pmod{7}$ . Puede reducir los exponentes a $3^5 + 4^2 \equiv 1 + 1 \pmod{7}$

A partir de ahí, es sólo computación: $$3^5 + 4^2 \equiv 1 + 6^0 \pmod{7}$$ $$243 + 16 \equiv 2 \pmod{7}$$ $$259 \equiv 2 \pmod{7}$$ $$0 \not\equiv 2 \pmod{7}$$

Así que es falso después de todo (he leído mal los exponentes al principio, lo siento).

Como eres nuevo en la aritmética modular, puede que esto no esté claro, pero para todo $x \ne 0$ , $x^6 \equiv 1 \pmod{7}$ . Véase Teorema del totiente de Euler .

EDIT: Wow estoy descuidado hoy. Lo siento.

Answer 2

$$2222=11\cdot202=22\cdot 101=101\pmod 7\\5555=11\cdot505=55\cdot 101=-101\pmod 7\\3333=11\cdot 303=33\cdot 101=(-2)\cdot 101\pmod 7\\4444=11\cdot404=44\cdot 101=2\cdot101\pmod 7$$

Bien, ahora añade modulo $\,7\,$ ambos lados de tu ecuación...:)

Añadido: Por cierto, tenga en cuenta que $\,101=3\pmod 7\,$ así que de nuevo haciendo aritmética modulo $\,7\,$ obtenemos

$$\begin{align*}2222&=&3\\5555&=-3=&4\\3333&=-2\cdot 3=-6=&1\\4444&=2\cdot 6=&-1\end{align*}$$

Answer 3

Ver ciclos.

1. $2222^6 \equiv 1\pmod{7}$ y $5555\equiv 5\pmod{6}$ entonces $2222^{5555}\equiv 2222^5\pmod{7}\equiv 5\pmod{7}$
2. $5555^3 \equiv 1\pmod{7}$ y $2222\equiv 2\pmod{3}$ entonces $5555^{2222}\equiv 5555^2\pmod{7}\equiv 2\pmod{7}$

mano izquierda $= 5 + 2 \equiv 0\pmod{7}$

1. $3333^1 \equiv 1\pmod{7}$ y $5555\equiv 0\pmod{1}$ entonces $3333^{5555}\equiv 3333^1\pmod{7}\equiv 1\pmod{7}$

2. $4444^1 \equiv 1\pmod{7}$ y $2222\equiv 0\pmod{1}$ entonces $4444^{2222}\equiv 4444^1\pmod{7}\equiv 1\pmod{7}$

mano derecha $= 1 + 1 \equiv 2\pmod{7}$

$2222^{5555}+5555^{2222}=3333^{5555}+4444^{2222} \pmod 7$ es incorrecto.

Puedes consultarlo con el programa bc:

bc 1.06.95
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This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'. 
2222^5555 % 7
5
5555^2222 % 7
2
3333^5555 % 7
1
4444^2222 % 7
1

Answer 4

Recordemos en primer lugar que como $7$ es primo, entonces $x^6 = 1 \pmod{7}$ . Ahora, tenemos $$ 2222 = \begin{cases} 2 \pmod{6} \\ 3 \pmod{7} \end{cases}, \quad 3333 = 1 \pmod{7}$$ $$4444 = -1 \pmod{7}, \quad 5555 = \begin{cases} 5 \pmod{6} \\ 4 \pmod{7} \end{cases}$$ Entonces podemos reducir cada lado de la ecuación a $$ 3^5 + 4^2 = 1^5 + (-1)^2 \pmod{7}$$ Entonces el LHS es $0$ pero el RHS es $2$ por lo que la afirmación es falsa.

EDIT: Como referencia, estoy probando la conjetura $2222^{5555} + 5555^{2222} = 3333^{5555} + 4444^{2222}$ .