Adjunto de la operación de suma de reducción

Question

Consideremos el mapa lineal $f:\mathbb{R}^{n\times m}\to \mathbb{R}^{n\times 1}$ definido del siguiente modo $$ f(X) = X 1_{m\times 1} $$ Se trata esencialmente de una operación de reducción que contrae las filas de $X$ en su suma. ¿Cuál es el adjunto de esta operación?

Solución intentada

$$ \begin{align} \langle X1, y\rangle_{\mathbb{R}^n} &= \sum_{i=1}^n y_i\sum_{j=1}^m x_{ij} \\ &= \sum_i \sum_j y_i x_{ij} \\ &= \text{trace}\left(X^\top y 1_{n\times 1}^\top\right) \\ &= \langle X, y1_{n\times 1}^\top \rangle_F \\ &= \text{vec}(X)^\top \text{vec}(y1_{n\times 1}) \\ &= \langle \text{vec}(X), \text{vec}(y1_{n\times 1}^\top) \rangle_{\mathbb{R}^2} \end{align} $$ Todavía no tengo ni idea ..

Answer 1

Has obtenido correctamente el adjunto en la 4ª línea de tu argumento:

$$\langle X\,1_{m\times 1},\,y\rangle_{\Bbb R^n}\ =\ \langle X,\,y\,1_{1\times m}\rangle_{\Bbb R^{n\times m}}$$ por lo que el adjunto del mapa lineal $f(X)=X\,1_{m\times 1}$ es el mapa lineal $f^*(y)=y\,1_{1\times m}$ .

Nótese que las definiciones de ambos mapas implican multiplicar por una matriz fija desde la derecha, sin embargo, si vectorizamos $\Bbb R^{n\times m}$ como para cualquier mapa lineal, podemos escribirlos en la forma $$f(x)=Ax\quad f^*(y)=By$$ para algunas matrices $A\in\Bbb R^{n\times nm}$ y $B\in\Bbb R^{nm\times n}$ y también tendremos $B=A^\top$ .