Un problema de bolas y colores

Question

Una caja contiene n bolas coloreadas de 1 a n. Cada vez coges dos bolas de la caja, la primera y la segunda, ambas uniformemente al azar y pintas la segunda bola con el color de la primera. Después, vuelves a meter ambas bolas en la caja. ¿Cuál es el número esperado de veces que hay que hacerlo para que todas las bolas de la caja tengan el mismo color?

Respuesta (Spoiler puesto a través de rot13.com): Gur fdhner bs gur dhnagvgl gung vf bar yrff guna a.

Alguien me planteó este enigma hace unos cuatro años. Lo he pensado de vez en cuando, pero no he sido capaz de resolverlo. Sin embargo, me dieron la respuesta y sospecho que puede haber una solución elegante.

Gracias.

Answer 1

editar Efectivamente, me equivoqué. La respuesta propuesta es correcta hasta donde yo he comprobado (n=10). Es bastante fácil establecer un sistema de ecuaciones para las expectativas y calcular. Aquí están los resultados a 6, la notación debe ser lo suficientemente claro:

$$p_{12}=3,p_{111}=4 $$

$$p_{13}=11/2,p_{22}=7,p_{112}=8,p_{1111 }=9 $$

$$p_{14}={\frac {25}{3}},p_{23}={\frac {35}{3}} ,p_{1^23}={\frac {38}{3}},p_{12^2}=14,p_{1^32}=15,p_{1^5}=16 $$

` $p_{15}={\frac {137}{12}},p_{24}={\frac {101}{ 6}},p_{3^2}={\frac {37}{2}},p_{1^24}={\frac {107}{6}},p_{123} ={\frac {83}{4}}, p_{1^33}={\frac {87}{4}},p_{2^3}=22 ,p_{1^22^2}=23,p_{1^52}=24,p_{1^6}=25 $

Al menos hasta n=10, si se sustituyen dos unos por un 2, el número esperado de movimientos disminuye en 1.

más tarde en respuesta a un comentario, aquí están los resultados de 10. Si alguien quiere más, que me lo pida. Es que son un poco voluminosos al menos como los tengo ahora. Creo que la notación debe quedar clara.

[[1, 10], 81], [[1, 8], [2, 1], 80], [[1, 6], [2, 2], 79], [[1, 4], [2, 3], 78], [[1, 2], [2, 4], 77], [[2, 5], 76], [[1, 7], [3, 1], 623/8], [[1, 5], [2, 1], [3, 1], 615/8], [[1, 3], [2, 2], [3, 1], 607/8], [[1, 1], [2, 3], [3, 1], 599/8], [[1, 4], [3, 2], 299/4], [[1, 2], [2, 1], [3, 2], 295/4], [[2, 2], [3, 2], 291/4], [[1, 1], [3, 3], 573/8], [[1, 6], [4, 1], 2085/28], [[1, 4], [2, 1], [4, 1], 2057/28], [[1, 2], [2, 2], [4, 1], 2029/28], [[2, 3], [4, 1], 2001/28], [[1, 3], [3, 1], [4, 1], 3995/56], [[1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 1], 3939/56], [[3, 2], [4, 1], 955/14], [[1, 2], [4, 2], 951/14], [[2, 1], [4, 2], 937/14], [[1, 5], [5, 1], 3895/56], [[1, 3], [2, 1], [5, 1], 3839/56], [[1, 1], [2, 2], [5, 1], 3783/56], [[1, 2], [3, 1], [5, 1], 465/7], [[2, 1], [3, 1], [5, 1], 458/7], [[1, 1], [4, 1], [5, 1], 3529/56], [[5, 2], 1627/28], [[1, 4], [6, 1], 4399/70], [[1, 2], [2, 1], [6, 1], 4329/70], [[2, 2], [6, 1], 4259/70], [[1, 1], [3, 1], [6, 1], 16721/280], [[4, 1], [6, 1], 7883/140], [[1, 3], [7, 1], 15087/280], [[1, 1], [2, 1], [7, 1], 14807/280], [[3, 1], [7, 1], 3553/70], [[1, 2], [8, 1], 5869/140], [[2, 1], [8, 1], 5729/140], [[1, 1], [9, 1], 7129/280], [[10, 1], 0]