Sea $(a_n)$ sea una secuencia de números reales (o incluso complejos). ¿Para qué secuencias
$$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$$
convergen a un valor finito?
Sea $p$ denotan el período de $a_n$ es decir $a_n = a_{n+p}$ para todos $n$ .
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$\large{p=1}$
La serie $S$ sólo convergerá si $a_1=0$ porque si no, $S$ es la serie armónica.
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$\large{p=2}$
La serie convergerá si $a_2=-a_1$ . Entonces la serie converge a $S= a_1\ln 2$ . Si $a_2=-a_1+\Delta$ entonces $S$ puede dividirse en dos series, una convergente a $a_1\ln 2$ y una divergente como $\Delta$ veces la serie armónica.
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$\large{p\geqslant3}$
Para este caso sólo tengo la conjetura de que $$S \text{ converges } \quad\iff\quad \sum_{n=1}^p a_n = 0$$ ¿pero no tengo ni idea de cómo proceder?