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Para qué secuencias periódicas $(a_n)$ hace la serie $\sum \frac{a_n}n$ convergen?

Sea $(a_n)$ sea una secuencia de números reales (o incluso complejos). ¿Para qué secuencias

$$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$$

convergen a un valor finito?

Sea $p$ denotan el período de $a_n$ es decir $a_n = a_{n+p}$ para todos $n$ .

  • $\large{p=1}$

    La serie $S$ sólo convergerá si $a_1=0$ porque si no, $S$ es la serie armónica.

  • $\large{p=2}$

    La serie convergerá si $a_2=-a_1$ . Entonces la serie converge a $S= a_1\ln 2$ . Si $a_2=-a_1+\Delta$ entonces $S$ puede dividirse en dos series, una convergente a $a_1\ln 2$ y una divergente como $\Delta$ veces la serie armónica.

  • $\large{p\geqslant3}$

    Para este caso sólo tengo la conjetura de que $$S \text{ converges } \quad\iff\quad \sum_{n=1}^p a_n = 0$$ ¿pero no tengo ni idea de cómo proceder?

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marty cohen Puntos 33863

Ya lo he resuelto antes. La suma converge si y sólo si $A=\sum_{k=1}^p a_k = 0 $ .

Esto puede demostrarse observando cada grupo de $p$ mandatos consecutivos a partir de $n$ y restando $\frac{A}{n}$ .

Arreglaré los detalles si quieres.

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