Número de raíces n-ésimas de elementos de un grupo finito e indicadores superiores de Frobenius-Schur

Question

Esta es la segunda seguimiento a esta pregunta sobre raíces cuadradas de elementos en grupos simétricos y se ocupa de generalizaciones a $n$ -enésima raíz. Sea $G$ sea un grupo finito y sea $r_n(g)$ sea el número de elementos $h\in G$ tal que $h^n = g$ . En otras palabras, $$r_n(g) = \sum_{h\in G}\delta_{h^n,g},$$ donde $\delta$ es el delta de Kronecker habitual. En un comentario a mi respuesta a la pregunta anterior, Richard Stanley señala que si $G=S_m$ entonces $r_n(g)$ alcanza su máximo en el elemento de identidad de $G$ . Mi pregunta es: ¿hasta qué punto se generaliza y qué nos dice exactamente sobre $G$ ? Esto debería ser principalmente una pregunta sobre los indicadores superiores de Frobenius-Schur. Permítanme elaborar un poco.

La función $r_n$ es claramente una función de clase en $G$ y, al tomar su producto interior con todos los caracteres irreducibles de $G$ se constata que $$r_n(g) = \sum_\chi s_n(\chi)\chi(g),$$ donde la suma corre sobre todos los caracteres complejos irreducibles de $G$ y $s_n(\chi)$ es el $n$ -ésimo indicador de Frobenius-Schur de $\chi$ definido como $$s_n(\chi) = \frac{1}{|G|}\sum_{h\in G}\chi(h^n).$$ En $n=2$ el indicador de Frobenius-Schur es igual a 0,1 o -1 y contiene información explícita sobre el campo de definición de la representación asociada a $\chi$ .

¿Qué hacen los Froben superiores nos dicen sobre las representaciones y, por extensión sobre el grupo? ¿Qué sabemos sobre sus valores? ¿Se han estudiado en detalle los indicadores superiores de Frobenius-Schur?

Para un enfoque adicional:

Dado $n\in \mathbb{N}$ para qué grupos $G$ ¿tenemos $\max_g \; r_n(g) = r_n(1)$ ? ¿Para qué grupos es válido todos $n$ ?

Como señala Richard Stanley, esto último es cierto para todos los grupos simétricos. También es fácil ver que el conjunto de grupos con esta propiedad es cerrado bajo productos directos, y que todos los grupos abelianos finitos poseen esta propiedad.

Answer 1

Si $n > 2$ NO existe un límite superior absoluto para el indicador F.S. "superior". $s_n(\chi)$ . Este es el Problema 4.9 de mi libro de teoría del carácter. (Allí se da una pista).

Answer 2

He aquí algunas cosas que probablemente sepa. Para una representación $W$ de $G$ , dejemos que $\text{Inv}(W)$ denotan el subespacio de $G$ -invariantes. Para una representación irreducible $V$ con carácter $\chi$ el indicador F-S $s_2(\chi)$ aparece de forma natural en las fórmulas

$$\dim \text{Inv}(S^2(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}{2}$$

y

$$\dim \text{Inv}(\Lambda^2(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}{2}.$$

Más concretamente, el indicador F-S es su diferencia, mientras que su suma es $1$ si $V$ es autodual y $0$ de lo contrario. Las fórmulas correspondientes que implican $s_3(\chi)$ son

$$\dim \text{Inv}(S^3(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)^3 + 3 \chi(g^2) \chi(g) + 2 \chi(g^3)}{6}$$

y

$$\dim \text{Inv}(\Lambda^3(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)^3 - 3 \chi(g^2) \chi(g) + 2 \chi(g^3)}{6}.$$

Aquí el indicador F-S $s_3(\chi)$ aparece naturalmente en la suma, no en la diferencia, de estas dos dimensiones. $T^3(V)$ se descompone en tres trozos, y el tercer trozo es ( Edición, 26/9/20: dos ejemplares de) el functor de Schur $S^{(2,1)}(V)$ por lo que se cumple

$$\dim \text{Inv}(S^{(2,1)}(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{ \chi(g)^3 - \chi(g^3)}{3}.$$

Así que $s_3(\chi)$ limita las dimensiones de estos espacios de alguna manera más misteriosa que $s_2(\chi)$ hace. La suma

$$\dim \text{Inv}(T^3(V)) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g)^3$$

díganos si $V$ admite una "autotrialidad", y esta dimensión es un límite superior de $s_3(\chi)$ . Si $V$ es autodual, esto equivale a preguntarse si existe un mapa bilineal equivariante $V \times V \to V$ que puede ser de interés para alguien. Si esta dimensión es distinta de cero, entonces $s_3(\chi)$ nos da información sobre cómo se comporta una trialidad bajo permutación.

La situación para valores más altos de $3$ es peor en el sentido de que la mayor parte de las fórmulas correspondientes no están completamente en términos de indicadores F-S sino en términos de productos internos de indicadores F-S y su interpretación sólo se hará más confusa. Ya no conozco muchas aplicaciones de la trialidad (de hecho conozco exactamente una: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node7.html ).

Answer 3

El concepto de indicadores superiores de Frobenius-Schur se ha generalizado a contextos mucho más amplios que las meras representaciones de grupos, y han demostrado ser extremadamente útiles.

Linchenko y Montgomery generalizaron los segundos indicadores a álgebras de Hopf semisimples, y Kashina, Sommerhauser y Zhu generalizaron los indicadores superiores a las mismas. A continuación, los definieron para categorías de fusión esféricas mediante Ng y Schauenburg y se han utilizado en problemas que van desde clasificaciones de álgebras de (cuasi) Hopf de baja dimensionalidad; relacionar exponentes y dimensiones; obtener nuevos invariantes gauge; y mucho más-. la introducción de este artículo de Negron y Ng ofrece un resumen bastante sólido sobre estas generalizaciones y sus usos. Algunas de las generalizaciones no requieren semisimplicidad, lo que en la mayoría de los casos significa que los invariantes son sólo de la representación regular (en lugar de representaciones fin. dim. arbitrarias). La búsqueda de "indicadores frobenius-schur" en el arxiv de matemáticas debería arrojar un buen número de resultados.

Cuando se aplica a las álgebras de Hopf cuasi-triangulares D(G), el doble de Drinfeld del grupo G, se obtiene una serie de nuevos invariantes de grupo que se basan, hablando en términos generales, en cuántas raíces (de un elemento dado) se envían a raíces (del mismo elemento) bajo la acción de cada elemento bajo la representación regular. Resulta muy interesante investigar cómo depende esto del elemento dado. A veces sólo depende del subgrupo cíclico que genera (como en todos los grupos p regulares), a veces no (como en algunos grupos p irregulares y en el grupo Monster). En última instancia, estos pueden estar vinculados a la forma en que el grupo se reconstruye a partir de sus centralizadores de un elemento, que si usted sabe mucho acerca de la teoría de la representación de D(G) es bastante sensible para un invariante de Rep(D(G)): representaciones están dadas por la inducción de representaciones de centralizadores a todo el grupo.

Hace muy poco, Barter, Jones y Tucker mostró cómo estos indicadores gobiernan eficazmente la estructura de ciertos módulos anulares de Temperley-Lieb-Jones en las categorías de fusión. Tales objetos se especifican mediante valores propios de rotación (que tienen todos un módulo predecible, siempre que se conozcan los giros), y los indicadores gobiernan los coeficientes de los polinomios que dictan las multiplicidades de estos valores propios.