Por favor me ayudan a evaluar esta integral: $$\int_0^\pi\arctan^2\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)dx$$ Por medio de la sustitución $x=2\arctan t$ puede ser transformada a: $$\int_0^\infty\frac{2}{1+t^2}\arctan^2\left(\frac{2t}{3+t^2}\right)dt$$ Entonces traté de integración por partes, pero sin ningún éxito...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una de Fourier metodología analítica. Si $x\in(0,\pi)$, $$\begin{eqnarray*}\arctan\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right) &=& \text{Im}\log(2+e^{ix})\\&=&\text{Im}\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}\,e^{inx}\\&=&\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}\,\sin(nx),\end{eqnarray*}$$ por lo tanto por el teorema de Parseval:
$$ \int_{0}^{\pi}\arctan^2\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)\,dx=\frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2 4^n}=\color{red}{\frac{\pi}{2}\cdot\text{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)}.$$
Como una nota del lado, podemos observar que la $\text{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)$ está muy cerca de a $\frac{1}{4}$.
Mediante la aplicación de sumación por partes dos veces, se obtiene:
$$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2 4^n} = \color{red}{\frac{1}{3}-\frac{1}{12}}+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{9\cdot 4^n}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{2}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}\right)$$ y la última suma es positiva, pero menos de $\frac{11}{486}$, ya que el $f:n\mapsto \frac{1}{n^2}-\frac{2}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}$ es positivo la disminución de la función en $\mathbb{Z}^+$.
