Oscilador armónico hiperbólico

Question

El oscilador armónico clásico puede asociarse a la ecuación diferencial: $$y''+\omega^2y=0$$ y soluciones $$y=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ o $$y=A\cos(\omega t+\delta)$$ El oscilador armónico se asocia a muelles y/o problemas de pequeñas oscilaciones, o al movimiento de fuerzas de la ley de Hooke. ¿Y la versión hiperbólica de esta ecuación? Es decir $$y''-k^2y=0$$ con $$y=A\sinh(kt)+B\cosh(kt)$$ ¿Cuáles son los problemas físicos asociados a esta ecuación? Observación: Una rotación "tipo Wick" en $\omega$ transforma la HO en hiperbólica a nivel de las soluciones.

Answer 1

Sí, hay muchos problemas físicos que siguen tales ecuaciones. Incluso ha mencionado uno de ellos en su pregunta.

Un péndulo sostenido contra la gravedad cerca de su punto de equilibrio inestable sigue localmente una ecuación de este tipo

La ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un péndulo viene dada como

$$ \dfrac{d^2\theta}{dt^2}+g \sin(\theta) = 0$$ Pero si dejas que $g \rightarrow -g$ (invertir la dirección de la gravedad), la ecuación sería la siguiente $$ \dfrac{d^2\theta}{dt^2}-g \sin(\theta) = 0$$ La transformación que hice transformó las ecuaciones de tal manera que el péndulo está ahora cerca de su punto de equilibrio inestable, es decir, la posición inicial de la caña del péndulo está más cerca del ángulo $\pi$ que a $0$ . Y ahora si asumimos $\theta <<1$ entonces lo que tenemos esencialmente es (cuanto más se acerque a $\pi$ más precisa será la solución) $$ \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=g\theta$$ De ahí que esta situación física tenga una solución local (en torno a su punto de equilibrio inestable) como $$\theta (t) =A\cosh(gt) +B\sinh(gt)$$

Otra forma interesante de llegar a la misma solución es transformar $\theta \rightarrow -\theta$ en lugar de $g \rightarrow -g$ se trata de una transformación equivalente y si transformamos ambos $\theta \rightarrow -\theta$ y $g \rightarrow -g$ la ecuación diferencial no cambia. Te dejo a ti la tarea de averiguar por qué ocurre esto.

Answer 2

Un profesor me dio un problema de deberes muy bueno que demostraba las similitudes de las dos situaciones. Las matemáticas son obviamente importantes, pero la imagen es lo que me ha ayudado a construir una intuición para el movimiento armónico (y exponencial):

Imaginemos un tablón de madera apoyado sobre dos rodillos situados a ambos lados del centro de masa para sostenerlo (situados a $\pm a$ digamos). Si el tablón se mueve ligeramente, los pares proporcionados por los rodillos (actualmente inmóviles) deben seguir siendo los mismos, ya que el tablón no empieza a girar. Como los brazos de palanca (distancia del CM a los rodillos) cambian, esto significa que la fuerza normal debe ser mayor en el lado con el brazo más corto. Por lo tanto, si el tablón se mueve hacia la derecha, la fuerza normal en $+a$ tiene una magnitud mayor que la de $-a$ .

1) Si los rodillos giran ahora hacia dentro, generan una fuerza de rozamiento que empuja la plancha hacia el centro cuya magnitud es proporcional a la de la fuerza normal del rodillo. Si la plancha está en el centro, estas fuerzas de rozamiento son iguales y no ocurre nada. Si se desplaza ligeramente hacia la derecha, el rodillo a $+a$ tiene una fuerza normal mayor $\to$ su fuerza de fricción hacia la izquierda aumenta y la tabla vuelve hacia su posición original. Si aplicas las leyes de Newton, verás que el CM del tablón experimenta un movimiento exactamente armónico.

2) Si los rodillos giran en sentido contrario (alejándose del centro) y mueves la tabla hacia la derecha, se produce exactamente el efecto contrario. De nuevo, la fuerza normal del $+a$ rodillo es mayor, por lo que su fuerza de rozamiento hacia la derecha será mayor y la tabla seguirá acelerando (exponencialmente) hacia la derecha. A medida que se acelera hacia la derecha, la diferencia de fuerzas de fricción es mayor, por lo que parece razonable esperar un movimiento exponencial de la tabla.

Answer 3

Esta ecuación correspondería a la situación física en la que tuvieras una fuerza que fuera repulsiva y que de alguna manera creciera proporcionalmente a la distancia a la que te encuentras del punto de equilibrio $y=0$ . De este modo, la partícula en cuestión se acelerará a velocidades cada vez mayores alejándose de $y=0$ y este movimiento no está acotado. Con el tiempo, entrarían en juego los efectos relativistas y habría que modificar el marco de referencia. No conozco ningún sistema físico real que siga esta ecuación. Y de hecho, la energía de este problema es ilimitada al igual que la trayectoria, por lo que la fuente de este campo de fuerza tendría que ser capaz de proporcionar energía infinita a tu partícula.

Además, un sistema de este tipo no es un oscilador, ya que no oscila. Simplemente se va al infinito.