Los teoremas de reciprocidad cuadrática establecen que para dos primos Impares p y q diferentes, tenemos que (p/q)(q/p)=(-1)^(p-1)(q-1)/4.
¿Cuál es el enunciado de este teorema en función L?
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Justin Bennett
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Diga $K=\mathbf{Q}(\sqrt{p^{\*}})$ es el único campo cuadrático en el que $p$ es el único primo finito ramificado. Es decir, $p^*=(-1)^{(p-1)/2}p$ . Hay dos funciones L que se pueden inventar a partir de $K$ y la reciprocidad cuadrática se manifiesta en el hecho de que las funciones L coinciden.
En primer lugar, está la función L derivada del carácter de Galois $\chi$ que recorta $K$ . Se trata de una función Artin L unidimensional. Su factor de Euler en un primo $q$ es $(1\pm p^{-s})^{-1}$ donde se coloca $-$ siempre que $q$ se divide en $K$ y $+$ siempre que $q$ es inerte en $K$ .
La otra función L es una función L de Dirichlet. Sea $\varepsilon$ sea el carácter único de $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^\times$ de orden exactamente dos. Esto se extiende a un carácter de Dirichlet $\varepsilon$ en $\mathbf{Z}$ y la función L de Dirichlet es $\sum_{n\geq 1} \varepsilon(n)n^{-s}$ .
Veamos que si las dos funciones L son iguales, entonces se cumple la reciprocidad cuadrática. En efecto, observemos el coeficiente de $q^{-s}$ . El coeficiente de la primera función L es $\left(\frac{p^*}{q}\right)$ . El coeficiente de la segunda función L es $\left(\frac{q}{p}\right)$ . (Esto requiere una explicación: $x\mapsto \left(\frac{x}{p}\right)$ es un carácter de $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^\times$ de orden dos, por lo que debe ser igual a $\varepsilon$ por unicidad). Encontramos
$$\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p^{\*}}{q}\right)=\left(\frac{(-1)^{(p-1)/2}}{q}\right)\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right).$$
Por supuesto, no se necesitan funciones L para afirmar nada de esto, pero son muy importantes. Por ejemplo, no se puede demostrar que la función L de Artin tiene una continuación analítica y una ecuación funcional sin saber que es igual a una función L de Dirichlet. La generalización de esta coincidencia a L-funciones de Artin de grado superior sigue siendo una conjetura.
Franz Lemmermeyer
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Permítanme intentar decir algunas cosas desde mi punto de vista en relación con la pregunta de Chandan Singh Dalawat sobre la reciprocidad superior.
El "carácter de Galois" de la extensión cuadrática $K$ ramificado sólo en $p$ viene dado por el símbolo de Kronecker $\chi(q) = (p^*/q)$ ; la relación asociada $\zeta(s) L(s,\chi) = \zeta_K(s)$ entre funciones zeta de los racionales, la función L de Dirichlet perteneciente a $\chi$ y la función zeta de Dedekind del campo $K$ codifica la ley de descomposición de las extensiones cuadráticas (véase el comentario de Sam Derbyshire).
La ley de reciprocidad cuadrática en la forma de Euler establece que este símbolo de Kronecker es un carácter de Dirichlet con conductor $p$ es decir, que $\chi(q) = \chi(r)$ para primos positivos $q \equiv r \bmod p$ . Por lo tanto, debe ser uno de los $p-1$ Caracteres de Dirichlet módulo $p$ , y puesto que $({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^\times$ es cíclico, debe ser el cuadrático de Dirichlet módulo $p$ .
Esto tiene una interpretación en términos de funciones L para caracteres Dirichlet; la relación zeta relación $\prod L(s,\chi) = \zeta_L(s)$ donde el producto del lado izquierdo es sobre todos los caracteres Dirichlet mod $p$ (convenientemente interpretado en el primo malo $p$ ), y donde $L$ es el campo de $p$ -ésimas raíces de la unidad, puede interpretarse como la ley de descomposición para primos en extensiones ciclotómicas. La razón por la que existe una conexión entre estos objetos y el carácter de Kronecker es, en última instancia, el hecho de que $K \subset L$ , algo que se puede demostrar directamente, por ejemplo, con las sumas de Gauss, otra herramienta para demostrar leyes de reciprocidad. En cualquier caso, la fuente última de esta prueba es la realización de la extensión de Kummer $K/{\mathbb Q}$ como campo de clase (dentro del campo de clase de rayo $L/{\mathbb Q}$ ).
Para obtener la ley de reciprocidad cúbica, se puede trabajar con extensiones de Kummer sobre el campo de raíces cúbicas de la unidad; comparando las leyes de descomposición para extensiones de Kummer y campos de clases se obtiene algo como $(\pi/q)_3 = (q/\pi)_3$ para primos primarios $\pi$ y primos racionales $q$ que es lo suficientemente fuerte como para darte la ley de reciprocidad cúbica completa con un par de manipulaciones formales. Escribir las correspondientes series L de Artin y Dirichlet es sencillo.
Algo similar funciona para las cuartas potencias, pero entonces te encuentras con problemas ya que sólo obtienes reciprocidad de Eisenstein de esta comparación de leyes de descomposición.
