La derivada total en un punto $p$ es una función lineal que codifica la "sensibilidad" que tiene una función en cada uno de sus argumentos, en el punto $p$ . Por lo tanto, si su función es $f\colon\Bbb R^n\to\Bbb R^m$ y la derivada total existe, en cada punto $p\in\Bbb R^n$ existe un mapa lineal $df_p\colon\Bbb R^n\to\Bbb R^m$ que te dice cómo $f$ cambia dependiendo de la dirección en la que vayas. La derivada parcial, sin embargo, codifica sólo el cambio en un dirección concreta. Así que si $df_p$ entonces contiene la información sobre las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}$ .
En tu pregunta, estás viendo una función de valor real con un único argumento, por lo que si conoces la expresión de $f$ y $s$ puedes simplemente calcular la derivada. Sin embargo, puede ocurrir que la expresión de $f$ o $s$ aún se desconoce. En este caso damos un rodeo utilizando el cálculo multivariable y la regla de la cadena:
Funciones fijas $f\colon \Bbb R^n\to\Bbb R^k$ y $g\colon \Bbb R^m\to\Bbb R^n$ . Las derivadas totales de $f\circ g,f,g$ están vinculados por la fórmula $$d(f\circ g)_{p}(x) = (df_{g(p)} \circ dg_p)(x).$$
En su caso, tenemos $f\colon\Bbb R^2\to\Bbb R$ y $g\colon\Bbb R\to\Bbb R^2$ definido por $t\mapsto (t,s(t))$ . La derivada total de $g$ en $t\in\Bbb R$ es el mapa lineal dado en la base canónica por la matriz $$\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{ds}{dt}(t)\end{pmatrix},$$ que también escribimos como $dx + \frac{ds}{dt}(t)dy$ .
La derivada total de $f$ en $(x,y)$ viene dada por la matriz $\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}$ . Por lo tanto, utilizando la regla de la cadena sabemos que la derivada total de $h\colon t\mapsto f(t,s(t))$ en un punto $t$ viene dado por $$dh(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t,s(t)) + \frac{ds}{dt}(t)\frac{\partial f}{\partial y}(t,s(t)).$$ Esta expresión es válida siempre que $s$ es diferenciable en $t$ y $f$ es diferenciable en $(t,s(t))$ .
