Cómo parametrizar el interior de un triángulo

Question

Me gustaría saber cómo parametrizar un triángulo sobre $[0,1] \times [0,1]$ . En realidad, sólo me importa que el mapeo sea suryectivo, pero supongo que una biyección siempre está bien.

He encontrado este en el que una respuesta contesta accidentalmente a mi pregunta pero cuando compruebo el resultado no parece ser correcto. Según entiendo la proposición afirma que $(u, v) \mapsto u\cdot A + v\cdot B + (1 - u - v)\cdot C$ où $A, B, C$ son los vértices del triángulo.

Por ejemplo, tomemos el triángulo especificado por los vértices $(0,0), (0, 1), (1, 0)$ . Si seguimos con los cálculos con $u = 1, v = 1$

$$1.0 \cdot (0,0) + 1.0 \cdot (0, 1) + (1.0 - 1.0 - 1.0)\cdot (1, 0) =$$ $$(0, 1) - (1, 0) =$$ $$(-1, 0)$$

que no es un punto del triángulo que he mencionado. ¿He cometido algún error de cálculo? ¿He interpretado mal el significado de vértice? Si no he cometido ningún error, ya sea de cálculo o de interpretación, entonces

nota: Se ha observado que la parametrización vinculada mapea el triángulo rectángulo a cualquier otro triángulo no la plaza solicitada. Entonces, ¿existe una correspondencia entre el cuadrado unitario y el triángulo rectángulo unitario?

Answer 1

El mapa $(u,v)\mapsto A+u(B-A)+uv(C-B)$ debería funcionar, pero no es biyectiva (todos los puntos de la forma $(0,v)$ se asignan al punto $A$ .

Answer 2

La parametrización que has encontrado requiere $u\ge0$ , $v\ge0$ y $u+v\le1$ . Para tratar el caso $u+v\ge1$ se puede aplicar la misma parametrización pero sustituyendo el coeficiente $u$ con $1-u$ y coeficiente $v$ con $1-v$ (ya que en ese caso $1-u+1-v\le1$ mientras que $1-u$ y $1-v$ siguen siendo no negativos). Entonces el coeficiente $1-u-v$ se convierte en $u+v-1$ . Esto acaba parametrizando el triángulo dos veces.