El resultado que busca se encuentra en el siguiente artículo :
Haberland, Klaus. Perioden von Modulformen einer Variabler and Gruppencohomologie I (Alemán) [Periodos de formas modulares de una variable y cohomología de grupo I], Matemáticas Nachr. 112 (1983), 245-282.
Sea $S_k$ (resp. $M_k$ ) es el espacio de las formas de cúspide holomorfas (resp. formas modulares holomorfas) para $\Gamma = SL_2(\mathbf{Z})$ . Sea $\Gamma_{\infty}$ sea el estabilizador de $\infty$ en $\Gamma$ . Sea $V_k$ sea el espacio de polinomios de grado $\leq k-2$ con coeficientes complejos. Haberland prueba una secuencia exacta
\begin{equation} (*) \qquad 0 \to S_k \oplus \overline{S_k} \to H^1(\Gamma,V_k) \to H^1(\Gamma_\infty,V_k) \to 0. \end{equation} Sea $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \Gamma_{\infty}$ . Existe un mapa natural $V_{k+1} \to H^1(\Gamma_\infty,V_k)$ enviando un polinomio $P$ al cociclo $c_P$ determinado por $c_P(T) = P(X+1)-P(X)$ . Es fácil comprobar que este mapa induce un isomorfismo $\psi : V_{k+1}/V_k \cong H^1(\Gamma_\infty,V_k)$ de modo que este último espacio es unidimensional.
El "Eisenstein cocycle" que estás buscando es un mapa natural $\delta : M_k \to H^1(\Gamma,V_k)$ que Haberland construye de la siguiente manera (en realidad aprendí esta construcción y muchas otras propiedades de $\delta$ durante las conferencias de Zagier en el Collège de France en 2002-2003).
Sea $f \in M_k$ . Sea $\widetilde{f}$ sea una integral de Eichler de $f$ es decir, cualquier función holomórfica sobre $\mathcal{H}$ tal que
\begin{equation} \left(\frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dz}\right)^{k-1} \widetilde{f}(z) = f(z). \end{equation} Tenga en cuenta que $\widetilde{f}$ es único hasta añadir algún elemento de $V_k$ . Dado que integramos $k-1$ veces, la función $\widetilde{f}$ debe considerarse en función del "peso" $k-2\cdot (k-1) = 2-k$ (por supuesto, esto no es cierto en sentido estricto). Hagamos esto más preciso.
Para cualquier $n \in \mathbf{Z}$ , dejemos que $|_n$ denotan el peso $n$ acción de $SL_2(\mathbf{R})$ en el espacio de funciones de valor complejo en $\mathcal{H}$ (para que cualquier $f \in M_k$ es un vector fijo del peso $k$ acción de $\Gamma$ ). Obsérvese también el peso $2-k$ da la acción habitual de $\Gamma$ en $V_k$ . El hecho crucial es que tenemos
\begin{equation} \widetilde{f} |_{2-k} (\gamma-1) \in V_k \qquad (\gamma \in \Gamma). \end{equation} Esto se puede demostrar utilizando la identidad de Bol
\begin{equation} \left(\frac{d}{dz} \right)^{k-1} (F |_{2-k} g) = \left(\frac{d^{k-1} F}{dz^{k-1}} \right) |_k g \end{equation} que se cumple para cualquier función holomorfa $F$ en $\mathcal{H}$ y cualquier $g \in SL_2(\mathbf{R})$ .
Desde $\gamma \mapsto \widetilde{f} |_{2-k} (\gamma-1)$ es obviamente un co-límite en el espacio de funciones sobre $\mathcal{H}$ define un cociclo en el espacio $V_k$ . Por lo tanto, obtenemos $\delta(f) \in H^1(\Gamma,V_k)$ y este elemento no depende de la elección de $\widetilde{f}$ . Así hemos construido $\delta : M_k \to H^1(\Gamma,V_k)$ .
No es difícil comprobar que si $f =\sum_{n \geq 0} a_n e^{2i\pi nz}$ entonces la imagen de $\delta(f)$ en $H^1(\Gamma_\infty,V_k)$ es la imagen del polinomio $\frac{a_0 \cdot (2\pi i)^{k-1}}{(k-1)!} \cdot X^{k-1} \in V_{k+1}$ bajo el isomorfismo $\psi$ arriba. En particular $\delta$ es inyectiva, y la secuencia exacta $(*)$ da el isomorfismo deseado.
Obsérvese que existe una elección distinguida de $\widetilde{f}$ a saber
\begin{equation} \widetilde{f} = \sum_{n \geq 1} \frac{a_n}{n^{k-1}} e^{2i\pi nz} + \frac{a_0 \cdot (2\pi i)^{k-1}}{(k-1)!} z^{k-1}. \end{equation} Sea $c_f \in Z^1(\Gamma,V_k)$ sea el cociclo asociado a esta elección de $\widetilde{f}$ . Calculemos el valor de $c_f$ en $T$ y $S= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . En primer lugar, como ya se ha explicado, tenemos
\begin{equation} c_f(T)=\frac{a_0 \cdot (2\pi i)^{k-1}}{(k-1)!} ((X+1)^{k-1}-X^{k-1}). \end{equation} Para calcular $c_f(S)$ Haberland utiliza la representación integral natural de $\widetilde{f}$ en términos de $f-a_0$ y obtiene
\begin{equation} c_f(S) = \frac{(2\pi i)^{k-1}}{(k-2)!} \int_0^{\infty} \left(f(z)-\frac{a_0}{z^k}-a_0 \right) (z-X)^{k-2} dz \end{equation} (existe una fórmula similar pero más complicada para $c_f(\gamma)$ para cualquier $\gamma \in \Gamma$ (véase más abajo). A continuación, $c_f(S)$ puede expresarse en términos de los valores especiales de $L(f,s) := \sum_{n=1}^\infty a_n/n^s$ en números enteros $s = 1,\ldots,k-1$ . Es un buen ejercicio calcular $c_f(S)$ cuando $f$ es la serie de Eisenstein $E_k$ en términos de números de Bernoulli y de $\zeta(k-1)$ (esto es Satz 3 en el artículo de Haberland, Kapitel 1).
Por favor, dígame si algo no está claro en mi explicación.
EDIT : He encontrado la siguiente expresión para $c_f(\gamma)$ où $\gamma \in \Gamma$ . Es bastante complicado (quizá podría simplificarse un poco) :
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{(k-2)!}{(2\pi i)^{k-1}} c_f(\gamma) &= \int_{z_0}^{\infty} (f(z)-a_0)(z-X)^{k-2} dz + \int_{\gamma^{-1} \infty}^{z_0} \left(f(z) -\frac{a_0}{(cz+d)^k} \right) (z-X)^{k-2} dz \\ & + \frac{a_0}{k-1} \left((X-z_0)^{k-1}-(X-\gamma z_0)^{k-1} |_{2-k} \gamma + X^{k-1} |_{2-k} (\gamma-1) \right) \end{aligned} \end{equation} où $z_0 \in \mathcal{H}$ es arbitraria y $\gamma= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .
