Serie $\sum _{n=1}^{\infty \:}\ln\left(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\right)$ convergen?

Question

Serie $\sum _{n=2}^{\infty \:}\ln\left(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\right)$ convergen?

Mi idea es aplicar la prueba de Cauchy, pero no sé cómo simplificarla a continuación.

Gracias

Answer 1

Ya se han dado muchas respuestas buenas: de acuerdo, podemos ir a lo exagerado. Por el teorema de Frullani, la función logaritmo tiene una buena representación integral: $$ \log\frac{m}{n} = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-nx}-e^{-mx}}{x}\,dx $$ de lo que se deduce que: $$S=\sum_{n\geq 2}\log\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \int_{0}^{+\infty}\sum_{n\geq 2}\frac{2e^{-(n+1)x}-e^{-nx}-e^{-(n+2)x}}{x}\,dx $$ simplificando, por series geométricas, a: $$ S = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-3x}-e^{-2x}}{x}\,dx = \color{red}{\log\frac{2}{3}}.$$

Answer 2

$$\color{red}{-\ln\left(\frac{27}{16}\right)}=\int_1^\infty\ln\left(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\right)dn \color{red}{< \sum _{n=2}^{\infty}\ln\left(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\right) <} \sum _{n=2}^{\infty}\ln\left(\frac{\left(n+1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}\right)= \color{red}{0}$$
Las desigualdades se derivan del hecho de que nuestra función es estrictamente creciente.
Tenga en cuenta que esto limita la respuesta decentemente bien como un bono.

Answer 3

Obsérvese que la suma parcial $$ \sum_{n=2}^k\ln\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)=\sum_{n=2}^k \left(\ln(n)-2\ln(n+1)+\ln(n+2)\right) $$ Podemos entonces reordenar la suma para obtener que la suma parcial es $$ \sum_{n=2}^k\ln(n)-2\sum_{n=2}^k\ln(n+1)+\sum_{n=2}^k\ln(n+2)=\sum_{n=2}^k\ln(n)-2\sum_{n=3}^{k+1}\ln(n)+\sum_{n=4}^{k+2}\ln(n). $$ Esto se simplifica (por telescopia) a $$ \ln(2)-\ln(3)-\ln(k+1)+\ln(k+2)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)+\ln\left(\frac{k+2}{k+1}\right). $$ En $k$ se acerca al infinito, $\frac{k+2}{k+1}$ se acerca a $1$ (y $\ln(1)=0$ ), por lo que el límite existe y es $\ln\left(\frac{2}{3}\right)$ .

Answer 4

Sugerencia :

$$\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=1-\frac1{(n+1)^2}$$ para que

$$\log\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$$ es asintóticamente

$$-\frac1{(n+1)^2}$$ y la serie converge (como $\zeta(2)$ ).

Answer 5

Pista: $ \ln (1+u)/u\to 1$ como $u \to 0,$ y $n(n+2)/(n+1)^2 = 1 -1/(n+1)^2.$