¿Se clasifican las topologías sobre un conjunto contablemente infinito?

Question

Sé que los espacios topológicos sobre un conjunto finito dado se clasifican. Pero ¿qué pasa con los conjuntos con cardinalidad $\omega$ ? La única restricción que exigiría es que los espacios sean $T_0$ es decir no tienen puntos topológicamente indistinguibles .

Al principio pensé que bastaría con considerar los espacios conexos, pero luego me di cuenta de que, por el mero hecho de que un espacio sea conexo, no tiene por qué ser completamente descomponible en componentes conexos: Consideremos, por ejemplo, $\{1/n\mid n\in \mathbb N_{>0}\}\cup \{0\}\subseteq \mathbb R$ equipado con la topología del subespacio: Todo conjunto de la forma $[0,1/n]$ es cerrado, pero como su intersección $\{0\}$ no es abierto, no existe un conjunto mínimo cerrado alrededor de $0$ es decir, ningún subespacio conectado $S\subseteq X$ que admite una descomposición $X \simeq S \sqcup X\setminus S$ .

Answer 1

Existe una clasificación para los espacios métricos contables (la esbozo en mi respuesta a esta pregunta relacionada incluyen todos los ordinales contables y los racionales y combos de ellos), pero más allá de eso son resultados aislados: están los 4 espacios contables de Toronto que no son indiscretos, topologías de puntos incluidos y excluidos, muchos tipos diferentes de espacios basados en un filtro sobre $\omega$ (ya tenemos más de un continuo de tipos de homeomorfismos), ya sea utilizando el filtro como topología, o sus elementos para un único punto no aislado añadido a $\omega$ (pero podría haber más de los de Hausdorff no es necesario) etc etc. Tampoco sé cuál es el tipo de homeomorfismo de un conjunto denso contable de $\{0,1\}^\mathbb{R}$ es, y cuántos tipos hay (todos ellos son multitud normal y de peso continuo). Etc. etc. El espacio de Arens es contable y bastante interesante. También existen la compactificación en un punto de los racionales, y los espacios de Hausdorff conectivos contables. En $\pi$ -base puedes ver más ejemplos (a menudo introducidos para mostrar que son posibles combinaciones específicas de propiedades). Hay mucha más variación de la que se podría pensar en un principio. Una clasificación completa parece aún muy lejana.