Serie Convergente: $\sqrt{n+1}/(n^2 + 1)$

Question

Tengo un problema de deberes en el que estoy teniendo dificultades.

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2} $$

He descubierto que lo más probable es que la serie sea convergente mediante la prueba divergente. Como usando la regla de lhospitales, la secuencia se aproxima a 0, por lo tanto PODRÍA ser una serie convergente. Sin embargo, creo que es convergente porque no parece ser una secuencia armónica. Así que ahora necesito encontrar la suma de la serie, y ahí es donde estoy teniendo problemas.

Answer 1

Pista: Calcular el límite $$\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{n+1}}{n^2+1}}{\dfrac1{n^{3/2}}}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que para $n\ge1$ tenemos la estimación

$$0<\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2}\le \frac{\sqrt{n+n}}{n^2}=\frac{\sqrt2}{n^{3/2}} $$

En la medida en que la serie $\sum_{n\ge 1}\frac1{n^{3/2}}$ converge, la serie de interés, $\sum_{n\ge1 }\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2}$ hace lo mismo.