Expresión de polinomios simétricos de suma de potencias en términos de sumas de potencias de grado inferior

Question

¿Existe una fórmula explícita que exprese polinomios simétricos de suma de potencias $$p_k(x_1,\ldots,x_N)=\sum\nolimits_{i=1}^N x_i^k = x_1^k+\cdots+x_N^k$$ de grado $k$ en $N < k$ variables totalmente a través del poder suma de polinomios simétricos $p_j(x_1,\ldots,x_N)$ de grados $j \le N$ ?

Ejemplos: $$N=1,\ k=2: \quad p_2=x^2=x\times x=p_1^2$$

$$N=2,\ k=3: \quad p_3 = x^3 + y^3 = [3(x^2+y^2)(x+y)-(x+y)^3]/2 = (3 p_2 p_1-p_1^3)/2$$

¿Cuál es la fórmula general?

Busco una fórmula similar a la de la expansión del Funciones de Schur $s_\lambda$ en términos de sumas de potencias simétricas:

$$s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda_\rho \prod_j \frac{p^{r_j}_j}{r_j!},$$ donde los coeficientes $\chi^\lambda_\rho$ son los caracteres de la representación del grupo simétrico indexado por la partición $\lambda$ evaluados en elementos de tipo ciclo indexados por la partición $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)$ que contiene $r_j$ partes de longitud $j$ .

Es evidente que las sumas de potencias de grado superior a $N$ puede ampliarse de forma similar: $$p_k=\sum_{\rho}a_{k;\rho}\prod_{j=1}^N p_j^{r_j},$$ donde $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},\dots,N^{r_N})$ es la partición de $k$ tal que $k=r_1+2r_2+3r_3+...+Nr_N$ .

En el ejemplo anterior para $N=2,\ k=3$ uno tiene $a_{3;\ (1^{1},2^{1}) }=3/2$ y $a_{3;\ (1^{3},2^{0})}=-1/2$ .

Mi pregunta puede reformularse como sigue dado $r_1,...,r_N$ w fórmula explícita para $a_{k;\rho}$ ?

---

Nota añadida

En realidad, Wikipedia nos dice cómo construir cierta fórmula explícita para $p_k$ . Da las siguientes expresiones para $p_n$ con $n=N$ en términos de $e_j,$

$$p_n = \begin{vmatrix} e_1 & 1 & 0 & \cdots & \\\ 2e_2 & e_1 & 1 & 0 & \cdots & \\\ 3e_3 & e_2 & e_1 & 1 & \cdots & \\\ \vdots &&& \ddots & \ddots & \\\ ne_n & e_{n-1} & \cdots & & e_1 & \end{vmatrix},$$

y para $e_n$ con $n=N$ en términos de $p_j,$

$$e_n=\frac1{n!} \begin{vmatrix}p_1 & 1 & 0 & \cdots\\\ p_2 & p_1 & 2 & 0 & \cdots \\\ \vdots&& \ddots & \ddots \\\ p_{n-1} & p_{n-2} & \cdots & p_1 & n-1 \\\ p_n & p_{n-1} & \cdots & p_2 & p_1 \end{vmatrix}.$$

Por lo que puedo ver en la derivación descrita en Wikipedia, estas expresiones determinantes también son válidas para $p_n$ con $n > N$ y para $e_n$ con $n < N$ .

Para $p_n$ con $n>N$ hay que tener en cuenta que todos $e_k=0$ para $k > N$ para que la matriz resultante tenga ceros en las esquinas superior derecha e inferior izquierda.

Sustituyendo los determinantes de $e_j$ en el determinante de $p_k$ se obtiene el fórmula explícita que parece resolver el problema.

Sin embargo, todavía no sé cómo obtener los coeficientes $a_{k;\rho}$ en la expansión de $p_k$ en términos de la primera $N$ sumas de potencias que sería la fórmula deseada (realmente explícita).

Answer 1

Combinando la fórmula del rastro propuesta por Gjergji Zaimi y Qiaochu Yuan, $$p_k={\rm Tr}\begin{pmatrix} e_1 & 1 & \cdots & 0 \\\ -e_2 & 0 & \ddots & \vdots \\\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\\ (-1)^{N-1}e_N & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}^{k},$$ con la fórmula citada por Peter Erskin, $$e_n=\frac1{n!} \begin{vmatrix}p_1 & 1 & 0 & \cdots\\\ p_2 & p_1 & 2 & 0 & \cdots \\\ \vdots&& \ddots & \ddots \\\ p_{n-1} & p_{n-2} & \cdots & p_1 & n-1 \\\ p_n & p_{n-1} & \cdots & p_2 & p_1 \end{vmatrix},$$ Mathematica produce las siguientes expansiones de $p_k$ :

---

$$N=2$$

$$p_3=-\frac{1}{2}\ p_1^3+\frac{3}{2}\ p_1p_2$$

$$p_4=-\frac{1}{2}\ p_1^4+p_1^2p_2+\frac{1}{2}\ p_2^2$$

$$p_5=-\frac{1}{4}\ p_1^5+\frac{5}{4}\ p_1p_2 ^2$$

$$p_6=-\frac{3}{4}\ p_1^4p_2+\frac{3}{2}\ p_1^2p_2^2+\frac{1}{4}\ p_2^3$$

$$p_7=\frac{1}{8}\ p_1^7-\frac{7}{8}\ p_1^5p_2+\frac{7}{8}\ p_1^3p_2^2+\frac{7}{8}\ p_1p_2^3$$

$$p_8=\frac{1}{8}\ p_1^8-\frac{1}{2}\ p_1^6p_2-\frac{1}{4}\ p_1^4p_2^2+\frac{3}{2}\ p_1^2p_2^3+\frac{1}{8}\ p_2^4$$

$$p_9=\frac{1}{16}\ p_1^9-\frac{9}{8}\ p_1^5p_2^2+\frac{3}{2}\ p_1^3p_2^3 +\frac{9}{16}\ p_1p_2^4$$

$$p_{10}=\frac{5}{16}\ p_1^8p_2-\frac{5}{4}\ p_1^6p_2^2+\frac{5}{8}\ p_1^4p_2^3 +\frac{5}{4}\ p_1^2p_2^4+\frac{1}{16}\ p_2^5$$

$$p_{11}=-\frac{1}{32}\ p_1^{11}+\frac{11}{32}\ p_1^9p_2-\frac{11}{16}\ p_1^7p_2^2-\frac{11}{16}\ p_1^5p_2^3 +\frac{55}{32}\ p_1^3p_2^4+\frac{11}{32}\ p_1p_2^5$$

---

$$N=3$$

$$p_4=\frac{1}{6}\ p_1^4-p_1^2p_2+\frac{1}{2}\ p_2^2+ \frac{4}{3}\ p_1p_3$$

$$p_5=\frac{1}{6}\ p_1^5-\frac{5}{6}\ p_1^3p_2+\frac{5}{6}\ p_1^2p_3+\frac{5}{6}\ p_2p_3$$

$$p_6=\frac{1}{12}\ p_1^6-\frac{1}{4}\ p_1^4p_2-\frac{3}{4}\ p_1^2p_2^2+\frac{1}{4}\ p_2^3+\frac{1}{3}\ p_1^3p_2^3+p_1 p_2 p_3 +\frac{1}{3}\ p_3^2$$

$$p_7=\frac{1}{36}\ p_1^7-\frac{7}{12}\ p_1^3p_2^2+\frac{7}{36}\ p_1^4p_3+\frac{7}{12}\ p_2^2p_3+\frac{7}{9}\ p_1p_3^2$$

$$p_8=\frac{1}{72}\ p_1^8-\frac{1}{18}\ p_1^6p_2+\frac{1}{12}\ p_1^4p_2^2-\frac{1}{2}\ p_1^2p_2^3+\frac{1}{8}\ p_2^4+\frac{2}{9}\ p_1^5p_3$$ $$-\frac{8}{9}\ p_1^3p_2p_3+\frac{2}{3}\ p_1p_2^2p_3+\frac{8}{9}\ p_1^2p_3^2+\frac{4}{9}\ p_2p_3^2$$

---

$$N=4$$

$$p_5=-\frac{1}{24}\ p_1^5+\frac{5}{12}\ p_1^3p_2-\frac{5}{8}\ p_1p_2^2-\frac{5}{6}\ p_1^2p_3+\frac{5}{6}\ p_2p_3+\frac{5}{4}\ p_1p_4$$

$$p_6=-\frac{1}{24}\ p_1^6+\frac{3}{8}\ p_1^4p_2-\frac{3}{8}\ p_1^2p_2^2-\frac{1}{8}\ p_2^3-\frac{2}{3}\ p_1^3p_3+\frac{1}{3}\ p_3^2+\frac{3}{4}\ p_1^2p_4+\frac{3}{4}\ p_2p_4$$

$$p_7=-\frac{1}{48}\ p_1^7+\frac{7}{48}\ p_1^5p_2+\frac{7}{48}\ p_1^3p_2^2-\frac{7}{16}\ p_1p_2^2-\frac{7}{24}\ p_1^4p_3-\frac{7}{12}\ p_1^2p_2p_3$$ $$+\frac{7}{24}\ p_2^2p_3 +\frac{7}{24}\ p_1^3p_4+\frac{7}{8}\ p_1p_2p_4+\frac{7}{12}\ p_3p_4$$

$$p_8=-\frac{1}{144}\ p_1^8+\frac{1}{36}\ p_1^6p_2+\frac{5}{24}\ p_1^4p_2^2 -\frac{1}{4}\ p_1^2p_2^2-\frac{1}{16}\ p_2^4$$ $$-\frac{1}{9}\ p_1^5p_3-\frac{2}{9}\ p_1^3p_2p_3 -\frac{1}{3}\ p_1p_2^2p_3-\frac{4}{9}\ p_1^2p_3^2+\frac{4}{9}\ p_2p_3^2$$ $$+\frac{1}{12}\ p_1^4p_4+\frac{1}{2}\ p_1^2p_2p_4+\frac{1}{4}\ p_2^2p_4 +\frac{2}{3}\ p_1p_3p_4+\frac{1}{4}\ p_4^2.$$

---

Me parece que una fórmula bonita y compacta para $a_{k,\rho}$ existe. En efecto, los coeficientes en los ejemplos anteriores son extremadamente simples.

En particular, observo que los últimos términos en cada uno de $p_k$ para $N=8$ tienen la forma $$k\ \prod_j \frac{1}{j^{r_j}r_j!}p_j^{r_j},$$ que corresponde a $$a_{k,\rho}=k\prod_j \frac{1}{j^{r_j}r_j!}.$$ Esta fórmula (cuya estructura se asemeja a los coeficientes de la expansión de las funciones de Schur citada por Peter Erskin) también funciona para todos los términos del tipo $p_jp_{k-j}$ a discreción $N$ .

Al parecer, no se trata de una fórmula general, como se desprende de los coeficientes que figuran delante de de $p_1^k$ que sí dependen de $N$ . Creo, sin embargo, que la fórmula general para $a_{k,\rho}$ con $N$ correctamente incluida no debería ser mucho más compleja que la empírica anterior.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Suponiendo que tenga $n$ variables entonces para $k\geq n$ la identidad de Robin Chapman anterior puede escribirse como $$(p_n,p_{n-1},\dots, p_1)\begin{pmatrix} e_1 & 1 & \cdots & 0 \\\ -e_2 & 0 & \ddots & \vdots \\\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\\ (-1)^{n-1}e_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}^{k-n}=(p_k,p_{k-1},\dots, p_{k-n+1})$$

Ahora, para terminar el trabajo, es necesario expresar el $e_i$ en términos de funciones simétricas de suma de potencias. Esto viene dado por $$e_n=\sum_{|\lambda|=n}(-1)^{|\lambda|-l(\lambda)} z_{\lambda}^{-1}p_{\lambda}$$ donde $|\lambda|$ es el tamaño de la partición $\lambda$ y $l(\lambda)$ es su longitud, $p_{\lambda}=p_{\lambda_1}p_{\lambda_2}\cdots$ y $$z_{\lambda}=\prod_{i\geq 1}\left(i^{m_i}\cdot m_i!\right)$$ donde $m_i$ es el número de partes de $\lambda$ igual a $i$ .

---

He pensado comentar que las fórmulas que citas son todas válidas en $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ el anillo de funciones simétricas en infinitamente muchas variables mientras que el que busca no lo es, porque el $p_\lambda$ son una base ortogonal en este anillo con $\langle p_{\lambda},p_{\mu}\rangle =\delta_{\lambda \mu}z_{\lambda}$ . Esta es también la misma razón por la que la fórmula de los polinomios de Schur puede contener arbitrariamente $p_{\lambda}$ en él. De hecho, la razón por la que esa fórmula es importante es porque te da la transición de la base de los polinomios de Schur a la de los polinomios de suma de potencias en $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ .

Answer 3

Si $e_1,\ldots,e_N$ son las funciones simétricas elementales de $x_1,\ldots,x_N$ entonces para $k\ge N$ uno tiene $$p_k=\sum_{j=1}^N(-1)^{j-1}e_j p_{k-j}.$$ Esta fórmula utiliza las funciones simétricas elementales, que supongo que quieres evitar, pero significa que para $k\ge 2N$ el $(N+1)$ por $(N+1)$ matriz $$M_k=(p_{k-i-j})_{i,j=0}^N$$ tiene el vector nulo $(1,-e_1,e_2,-e_3,\ldots,\pm e_N)$ y así $\det(M_k)=0$ . Expandiendo este resultado se obtiene una fórmula explícita para $p_k$ como función racional (¡ay!) de $p_{k-1},\ldots,p_{k-2N}$ .

Añadido Supongo que se puede expresar la $e_j$ en términos de $p_1,\ldots,p_n$ y ponerlos en la recurrencia lineal anterior para $p_k$ .

Answer 4

$$p_k = -k\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2\pi}e^{-i k \theta} \ln\left\{ \int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{2\pi}\ \sum_{m=0}^N e^{i m (\theta-\phi)} \exp\left[ -\sum_{s=1}^N \frac{p_s}{s}\ e^{i s \phi} \right] \right\}.$$