Demuestre que una transformación lineal $T$ es uno a uno

Question

Problema: Considere la transformación $T : P_1 -> \Bbb R^2$ donde $T(p(x)) = (p(0), p(1))$ para cada polinomio $p(x) $ en $P_1$ . En $P_1$ es el espacio vectorial de todos los polinomios con grado menor o igual a 1.

Demuestre que T es uno a uno.

Mis pensamientos: Estoy un poco atascado en este caso. Ya he demostrado que T es una transformación lineal.

Sé que para probar que T es uno a uno, para cualquier $p(x)$ y $q(x)$ en $P_1$ ,
(1) $T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x))$

(2) $T(cp(x)) = cT(p(x))$

Lo hago de una manera orientada a la prueba: Sea p(x), q(x) un polinomio en P ₁ tal que T(p(x)) = T(q(x)). Sea $c$ sea un número real.

(1) $T(p(x)) = T(q(x))$ -> $(p(0), p(1)) = (q(0), q(1))$

Es decir $p(0) = q(0)$ y $p(1) = q(1)$ . No puedo averiguar cómo probar que $p(x) = q(x)$ de saber $p(0) = q(0)$ y $p(1) = q(1)$ .

¿Estoy haciendo las cosas mal? Sé que otra manera de probar que $T$ es uno a uno es si puedes encontrar que la matriz estándar $A$ para $T$ es invertible, pero no puedo averiguar cómo obtener una matriz estándar para la transformación lineal $T$ en este caso.

Agradecería cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que si $p(x)$ y $q(x)$ tienen titulación como máximo $1$ entonces $d(x)=p(x)-q(x)$ tiene un grado como máximo $1$ (o es el polinomio cero, dependiendo de cómo se defina el grado del polinomio cero). Así, si $p(0)=q(0)$ y $p(1)=q(1)$ entonces $d(0)=d(1)=0$ . Así $d(x)$ tiene dos raíces, pero tiene grado como máximo $1$ . Así $d(x)$ es idénticamente cero, y $p(x)=q(x)$ .

Answer 2

Hay muchas formas de hacerlo. Para terminar tu prueba, observa que \begin{align*} f(t)&=a_0+a_1t&g(t)=b_0+b_1t \end{align*} satisfacer $T(f)=T(g)$ sólo si $f(0)=g(0)$ y $f(1)=g(1)$ . Pero $f(0)=g(0)$ y $f(1)=g(1)$ sólo si \begin{align*} a_0 &= b_0 & a_0+a_1&=b_0+b_1\tag{1} \end{align*} Ahora bien, (1) se cumple si y sólo si $a_0=b_0$ y $a_1=b_1$ . Por lo tanto $T(f)=T(g)$ sólo si $f=g$ según sea necesario.

Alternativamente, ponga \begin{align*} f_0(t) &= 1 & f_1(t) =t \end{align*} y observe que $\{f_0,f_1\}$ es una base para $P_1$ mientras que \begin{align*} e_1&=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} & e_2&= \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \end{align*} is a basis for $\Bbb R^2$. The computations \begin{array}{rcrcrcrcrc} T(f_0) & = & \color{red}1\,e_1 &+& \color{red}1\,e_2 \\ T(f_1) &=& \color{green}0\,e_1&+&\color{green}1\,e_2 \end{array} muestran que la matriz de $T$ relativa a estas bases es $$ [T]=\begin{bmatrix}\color{red}1 & \color{green}0 \\ \color{red}1&\color{green}1\end{bmatrix} $$ Pero $[T]$ es invertible por lo que $T$ es uno a uno.

Answer 3

Otra forma es con el útil resultado de que un mapa $L$ entre estructuras alébricas es inyectiva si el núcleo de $L$ es trivial. Esto significa que $T(p)=0$ si $p==0$ es decir, si $p$ es el $0$ polinómico.

Supongamos entonces que $T(p)=(p(0),p(1))=(0,0)$ . Esto significa, para $p=ax+b$ : $$p(0)=a(0)+b=b=0 $$ junto con, $$p(1)=a+b=a+0=0$$ De ello se deduce que $p==0$ necesariamente, por lo que el núcleo de $T$ es trivial y el mapa es inyectivo