polinomio de gegenbauer

Question

Normalmente, el polinomio de Gegenbuaer se denota por $C^{(\lambda )}_{n}(x)$ con $\lambda >-1/2$ . Mi pregunta: ¿es posible generalizar el polinomio de Gegenbuaer para $Re(\lambda)>-1/2, \lambda \in \mathbb{C}$ ? ¿Existe alguna referencia para este problema? Gracias.

Answer 1

Los polinomios de Gegenbauer pueden definirse como $$C_n^{(\lambda)} = \frac{(2\lambda)_n}{n!} {}_2F_1\left(-n, n+2\lambda; \lambda + \frac{1}{2}; \frac{(1-x)}{2}\right),$$ donde ${}_2F_1$ es la función hipergeométrica. Mientras $\lambda \neq -\frac{1}{2}, -1, -\frac{3}{2}, -2, -\frac{5}{2}, \ldots$ (que se asume con $Re(\lambda) > -\frac{1}{2}$ esta función hipergeométrica está bien definida.

Por lo que puedo comprobar todas las relaciones comunes para los polinomios de Gegenbauer se generalizan para $Re(\lambda) > -\frac{1}{2}$ . Esto significa que las relaciones de ortogonalidad, la función generatriz, la solución de la ecuación diferencial, la fórmula de Rodrigues y las relaciones de recurrencia de tres términos se extienden a $Re(\lambda) > -\frac{1}{2}$ .

Una buena referencia es Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable de Mourad Ismail, páginas 94-98.