Prueba $-\sqrt(x)$ es una función convexa

Question

Necesito probar que es estrictamente cóncava hacia arriba usando la definición $f(tx + (1-t)y) < tf(x) + (1-t)f(y)$ . Estoy atascado en enchufar los valores a continuación, para mostrar la desigualdad.
$-\sqrt { (tx+(1-t)y) } <t(-\sqrt { x } )+(1-t)(-\sqrt { y } )$

Pregunta similar en ¿Es x cóncava?

Answer 1

Utilizando sólo definición, sin derivada:

Queremos demostrar que para $t\in(0,1)$ y $x\neq y$ , sostiene $$\sqrt{tx+(1-t)y}>t\sqrt{x}+(1-t)\sqrt{y}$$ (estas dos preguntas son equivalentes, obviamente $f$ es cóncava si $-f$ es convexa).

Como ambos lados son positivos, la desigualdad es equivalente a $${tx+(1-t)y}>t^2x+(1-t)^2y+2t(1-t)\sqrt{xy}$$ que se puede transformar en $$t(1-t)x+t(1-t)y>2t(1-t)\sqrt{xy}$$ que equivale a $$x+y>2\sqrt{xy}$$ o $$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2>0$$ pero éste no necesita pruebas.

Answer 2

Basta con demostrar que

$$\begin{align} tx + (1-t)y &\ge (t \sqrt x + (1-t) \sqrt y)^2 \\ &= t^2 x + (1-t)^2 y + 2t(1-t)\sqrt{xy}. \end{align}$$

ya que entonces podríamos sacar la raíz cuadrada de ambos lados (preservando la desigualdad, ya que $\sqrt{\cdot}$ es creciente en los reales positivos) y negamos ambos lados (invirtiendo la desigualdad y obteniendo la afirmación que queremos demostrar).

Después de mirar las expresiones algebraicas anteriores durante unos minutos, descubrimos que $2 \sqrt{xy}$ lo que sugiere utilizar la desigualdad AM-GM. Tenemos:

$$\begin{align} \frac12 x + \frac12 y &\ge \sqrt{xy} \\ t(1-t)x + t(1-t)y &\ge 2t(1-t) \sqrt{xy} \\ t^2 x + t(1-t)x + (1-t)^2y + t(1-t)y &\ge t^2 x + (1-t)^2 y + 2t(1-t)\sqrt{xy}. \\ t x + (1-t)y &\ge (t \sqrt x + (1-t)\sqrt y)^2 \\ \sqrt{t x + (1-t)y} &\ge t \sqrt x + (1-t) \sqrt y. \end{align}$$

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Alternativamente, observamos que si desplazamos todo hacia un lado, la expresión se factoriza muy bien. (En realidad, esto equivale a una posible prueba de AM-GM).

$$\begin{align} t(1-t) (\sqrt x - \sqrt y)^2 &\ge 0\\ t(1-t) x + t(1-t) y - 2 t(1-t) \sqrt{xy} &\ge 0\\ t(1-t) x + t(1-t) y &\ge 2 t(1-t) \sqrt{xy} \end{align}$$ y a partir de ahí se procede como arriba.