La sucesión de números reales $\ a_1,a_2,a_3.....$ es tal que $\ a_1=1$ y $$a_{n+1} = \left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^{\!\lambda} $$ donde $\ \lambda >1$
Demostrar por inducción matemática que para $n\geq 2$ $$a_n\geq2^{g(n)} $$ donde $g(n) = \lambda^{n-1} $ Resuelto
Demuestre también que para $\ n\geq 2$ , $$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n} > 2^{(\!\lambda-1)g(n)}$$
Inténtelo
$$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}=\frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}$$
$$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}=\frac{\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^{\!\lambda} }{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}$$
$$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}=\frac{\left(a_n^2+1\right)^{\!\lambda} }{a_n^{\!\lambda+1}}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}$$
$$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}=\frac{\left(a_n^2+1\right)^{\!\lambda} -2^{(\!\lambda-1)g(n)}\left(a_n^{\!\lambda+1}\right) }{a_n^{\!\lambda+1}}$$
$$ \rm \large \frac{a_{n+1}}{a_n}-2^{(\!\lambda-1)g(n)}=\frac{\left(a_n^2+1\right)^{\!\lambda} -2^{g(n+1)-g(n)}\left(a_n^{\!\lambda+1}\right) }{a_n^{\!\lambda+1}}$$
Ahora no sé muy bien cómo demostrar que el numerador y el denominador son mayores que 0. ¿Puede alguien darme alguna pista que me ayude a resolver este problema?
Editar: El denominador podría probarse mostrando que la secuencia de los números es una secuencia monotónicamente creciente. Y puesto que el primer término y $\ \lambda $ es mayor que 0 que $\ {a_n^{\!\lambda+1}}>0$
