Sea V el universo de los conjuntos (la clase de todos los conjuntos). Sea U(0)=V, U(1)=V*V, la clase que es producto cartesiano de la clase V=U(0) con V, y para n>=1, sea U(n+1)=U(n)*U(0); Para cada entero natural n, sea T(n)=U(n+1)/U(n) la clase que es diferencia de la clase U(n+1) y de la clase U(n). Nos interesa la proposición (T): "Para cada conjunto miembro x de V, existe un único número natural n tal que x es un elemento miembro de U(n)". Pregunta 1: Sea ZFC nuestra teoría de conjuntos; ¿prueba ZFC (T)? Pregunta 2: Supongamos que la respuesta a la pregunta 1 es SÍ, y que ahora nuestra teoría de conjuntos sea ZF- (es decir, ZF con omisión del axioma de regularidad/fundamento); ¿prueba ZF- (T)? Pregunta 3: supongamos que la respuesta a la pregunta 3 es NO; ¿prueba ZF- la equivalencia de (T) con el axioma de Regularidad? Gérard Lang
Respuestas
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La pregunta 3 también tiene una respuesta negativa (Joel Hamkins ya ha respondido a las dos primeras).
El modelo $V(a,b,c)$ descrito en detalle en mi respuesta a una pregunta análoga. pregunta también funciona en este caso, ya que $V(a,b,c)$ satisface $ZF+T$ pero no Fundación .
La razón por la que $T$ mantiene en $V(a,b,c)$ es similar a la razón por la que $S$ se cumple en la otra pregunta: cualquier secuencia épsilon descendente infinita debe llegar finalmente a uno de los elementos $a$ , $b$ o $c$ ninguno de los cuales es un par ordenado de Kuratowski (de hecho, tampoco son pares ordenados en el sentido de Wiener).
Se puede demostrar inductivamente que $U(n+1)\subseteq U(n)$ por lo que el $T(n)$ son las diferencias en la jerarquía descendente; así, la pregunta (T) equivale a saber si la intersección de las $U(n)$ está vacía. Como indicas en los comentarios, supongamos que utilizas la codificación Kuratowski habitual de par ordenado. En este caso, tanto $x$ y $y$ son elementos-de-elementos de $\langle x,y,\rangle$ . (Y para la mayoría de las codificaciones de par ordenado, $x$ y $y$ están ambas en el cierre transitivo de $\langle x,y,\rangle$ que es el punto crítico).
La respuesta a la pregunta 1 es Sí. Si un conjunto $a$ está en cada $U(n)$ entonces podemos desenvolver $a$ ya que es par $a=\langle a_0,b_0\rangle$ y $a_0=\langle a_1,b_1\rangle$ y así sucesivamente, con $a_n=\langle a_{n+1},b_{n+1}\rangle$ y $a_{n+1}\in\in a_n$ lo que significa que es un elemento de un elemento, y esto viola la fundamentación de la $\in$ contrario al axioma de la fundación.
De forma similar a su otra pregunta reciente, la respuesta a la pregunta 2 es No. Esto se debe a que es relativamente coherente con ZF- que haya un conjunto $x$ tal que $x=\{x\}$ ; tales conjuntos existen bajo el axioma anti-fundación. Obsérvese que $x=\{\{x\}\}=\{\{x\},\{x,x\}\}$ que es lo mismo que $\langle x,x\rangle$ . Así que $x$ está en cada $U(n)$ violando (T).
No sé la respuesta a la pregunta 3, pero espero que la solución sea parecida a la de tu otra pregunta, que me parece más fundamental.
