Mínimo y sumo de una función de dos variables

Question

¿Cómo puedo encontrar el ínfimo y el sumo en $\mathbb{R}^{2}$ de esta función $$f(x,y)=(2x^2+y^2-1)(x^2+y^2-1)+1$$ ? Gracias

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Perdonadme si no he añadido mis pensamientos pero no sabia por donde empezar .

Answer 1

La función no está acotada por encima ya que

$$f(x,0)=2x^4-3x^2+2\rightarrow\infty$$

Como la función es par en ambas variables podemos trabajar sólo con $\;x,y\ge0\;$ y

$$f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{} 1+1=2$$

Pero para cualquier punto del círculo $\;x^2+y^2=1\;$ o en la elipse $\;2x^2+y^2=1\;$ el valor de la función es $\;1\;$ : $\;f(x,y)= 1$

Pero las cosas se ponen más interesantes si tenemos valores $\;(x,y)\;$ s.t. $\;x^2+y^2<1\;$ pero $\;2x^2+y^2>1\;$ desde entonces $\;f(x,y)<1\;$ . Por ejemplo, con

$$\;f(0.9,0.1)=(1.62+0.01-1)(0.81+0.01-1)+1\cong0.89$$

Por lo tanto, esto parece depender de las partes $\;2x^2+y^2\;,\;\;x^2+y^2\;$ de la función, y como la primera encierra a la segunda, queremos puntos dentro del disco $\;x^2+y^2<1\;$ pero fuera de la elipse $\;2x^2+y^2\le1\;$ .

La mayor diferencia entre los valores de puntos de este tipo se encuentra en el eje principal (horizontal) de la elipse, por lo que $\;y=0\;,\;\;\frac1{\sqrt2}\le x\le1\;$ y queremos el valor mínimo en este rango de

$$f(x,0)=2x^4-3x^2+2\,.\;\;f\left(\frac1{\sqrt2},0\right)=\frac12-\frac32+2=1=f(1,0)\;,\;\;\text{and differentiating:}$$

$$f_x(x,0)=8x^3-6x=2x(4x^2-3)=0\iff x=\pm\frac{\sqrt3}2\;\;\text{(in our range)}$$

Diferenciando dos veces es fácil comprobar que se trata de un punto mínimo, y su valor es

$$f\left(\frac{\sqrt3}2,0\right)=2\cdot\frac9{16}-3\cdot\frac34+2=\frac{14}{16}=\frac78$$