trivialidad de los haces de fibras

Question

¿hay algún método general para juzgar si un paquete de fibles es trivial?

Al menos, para los haces vectoriales, existe una teoría bien desarrollada, que es la de las clases características.La trivialidad de los haces vectoriales equivale a la desaparición de sus clases características.

para los haces principales, la trivialidad es equivalente a la exsencia de una sección transversal. (¿alguna buena perspectiva sobre esta afirmación? además, ¿cómo saber si existe una sección transversal?)

Para un haz de fibras general (E, F, B, G), (aquí, E es el espacio total, F la fibra, B el espacio base, G el grupo estructural), podemos construir su haz principal asociado (E', G, B, G), es decir, sustituir la fibra F por el grupo topológico G. Hay un teorema que dice que un haz de fibras es trivial si su haz principal asociado es trivial.

por lo que el problema se reduce a encontrar una sección transversal del haz principal.

Quiero saber si hay algún otro método que sea más utilizable? Gracias.

Answer 1

Realmente no voy a dar una respuesta, pero tenga en cuenta que Turaev tiene un preprint reciente en el archivo (¡también esta respuesta es demasiado larga para un comentario!)

* Turaev, Vladimir

Resumen Estudiamos el problema de existencia y el problema de enumeración para secciones de fibraciones de Serre sobre superficies orientables compactas. Cuando el grupo fundamental de la fibra es finito, se da una solución completa en términos de clases de cohomología bidimensionales asociadas a ciertas representaciones irreducibles de este grupo. Las pruebas se basan en la Teoría Cuántica de Campos Topológica.. Comentario: 38 páginas

Detalles de la publicación Descargar http://arxiv.org/abs/0904.2692

Se discute la existencia de secciones para haces de fibras sobre superficies. Como menciona Paul, la respuesta es la "teoría de la obstrucción" en general.

Answer 2

He aquí algunas reflexiones sobre la cuestión de la publicación:

1. Supongamos que un director $G$ -Asamblea $E\to B$ para $G$ un grupo topológico tiene una sección $s:B\to E$ . Entonces $(g,b)\mapsto g s(b)$ es una trivialización (recordemos la acción de $G$ es global). El espacio de trivializaciones de un haz trivial no es necesariamente trivial, es el grupo gauge $Map(B,G)$ .

2. Los haces de fibras suelen venir equipados con un grupo de estructura $G$ . (Si no se especifica ninguno, se suele suponer que es el grupo de todos los homeomorfismos o difeomorfismos de la fibra). Que el haz sea o no trivial, depende de $G$ . Por ejemplo: las clases de isomorfismo de principal $G$ -bundles en la esfera $S^n$ son uno a uno con $\pi_{n-1}(G)$ para los conectados $G$ (a grandes rasgos, porque la esfera está formada por dos discos, el haz es trivial en cada uno y tenemos que especificar los mapas de transición en la intersección de los discos, que es la esfera de una dimensión menos). La identificación es natural en $G$ . Por ejemplo, $\pi_1(U(n))=\mathbf{Z}$ y $\pi_1(SO(n))=\mathbf{Z}/2$ para $n\geq 3$ por lo que existen haces vectoriales complejos de rango 2 en $S^2$ que son triviales como haces vectoriales reales.

3. Para cualquier grupo topológico $G$ existe un espacio clasificatorio $BG$ y las clases de isomorfismo del principal $G$ -fondos en $X$ son uno a uno con las clases de homotopía de los mapas $X\to BG$ . Si $G$ actúa sobre $F$ por homeomorfismos, entonces el conjunto anterior es uno a uno con el conjunto de clases de isomorfismo de haces con grupo estructural $G$ y fibra $F$ .

4. He aquí otra descripción del conjunto de las clases de isomorfismo de los haces principales: este conjunto es biyectivo con $H^1(X,\mathcal{F})$ donde $\mathcal{F}$ es la gavilla de grupos de ``gavilla'' en $X$ obtenida a partir del presheaf $U\mapsto Map(U,G)$ . Esto es especialmente útil cuando $G$ es abeliana, en cuyo caso tenemos no sólo $H^1$ sino también los grupos superiores; un caso particular es la descripción de las clases de isomorfismo de los haces de líneas sobre una variedad algebraica $Y$ como elementos de $H^1(Y,\mathcal{O}^{\*})$ .

Answer 3

Esto tampoco responde del todo a la pregunta, pero hay clases características para varios tipos de haces de fibras más allá de los haces vectoriales simples. Las más desarrolladas son las llamadas clases "Miller-Mumford-Morita", que son clases características de haces de fibras cuyas fibras son superficies topológicas. Para un relato inspirado de ellas, véase el libro de Morita "Geometría de las clases características".

Answer 4

Esto puede no ser útil pero se puede tomar el haz vectorial cuyo espacio vectorial en un punto es la cohomología de la fibra en el punto. Entonces puedes preguntar si esto es trivial.

Otro enfoque posible es considerar el haz principal con el grupo de difeomorfismos de una fibra. Entonces las clases de cohomología para este grupo son clases características.