Si respondemos falso, entonces debe haber un número primo infinito. Pero el infinito no es un número y tenemos una contradicción. Si respondemos verdadero, entonces debe haber un número primo mayor. Pero Euclides demostró lo contrario y de nuevo tenemos una contradicción. Entonces, ¿el conjunto de todos los números primos contiene todos los elementos finitos sin ningún elemento mayor? ¿Cómo es posible?
Respuestas
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Todo número natural es un número finito. Todo número primo (en la definición habitual) es un número natural. Por tanto, todo número primo es finito. Esto no contradice el hecho de que haya infinitos primos, al igual que el hecho de que todo número natural sea finito no contradice el hecho de que haya infinitos números naturales. Puedes tener infinitas cosas finitas, y nunca habrá un ejemplar mayor.
Para complicar un poco más las cosas (y mucho más interesantes), hay extensiones del conjunto de los números naturales que sí contienen números infinitos, e incluso números primos infinitos. Por ejemplo, en cualquier extensión hiperreal de los reales, hay un sistema de números hipernaturales. Algunos de estos números hipernaturales son finitos y otros infinitos. Los finitos no son más que una copia del conjunto habitual de números naturales y los primos en él son los primos habituales. Para los números hipernaturales infinitos, también hay números primos. Por ejemplo, el hipernatural representado por la secuencia $(2,3,5,7,11,13,17,19,\cdots )$ es un número primo infinito.
Drew Jolesch
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La respuesta a su pregunta depende de cómo definamos el trabajo.
Definición , Se dice que una fuerza realiza un trabajo si, al actuar, se produce un desplazamiento del punto de aplicación en la dirección de la fuerza.
En lenguaje llano, para realizar un trabajo se necesita desplazamiento, no sólo fuerza.
En la ecuación, $dW=x.dF$ En este caso, estamos considerando un cambio de fuerza en una posición constante desde un punto de referencia (origen). Según nuestra definición, no se realiza ningún trabajo porque no hay desplazamiento. Para entenderlo mejor, supongamos que hay un bloque pesado y que se le aplica una fuerza variable.
Por mucho que empujes, no podrás darle velocidad. El teorema trabajo-energía dice que si una fuerza realiza algún trabajo efectivo, hay un cambio en la energía cinética del cuerpo. Pero en nuestro caso, no hay ningún cambio en la energía cinética lo que implica que no se realiza ningún trabajo por su parte. Esta es una buena manera de entender lo que es el trabajo.
Por otro lado, en la ecuación $dW=F.dx$ Estamos considerando un desplazamiento infinitesimal para una fuerza constante. El trabajo se realiza aquí ya que tenemos una fuerza y un desplazamiento. Si tenemos una fuerza variable, tendremos que dividir nuestro procedimiento de cálculo del trabajo en desplazamientos infinitesimales para los que la fuerza puede suponerse constante.
$$W=\int\vec{F}.\vec{dx}=\int\vec{|F|}\vec{|dx|}\cos\theta$$
Jim Balter
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¿Son todos los números primos finitos?
Sí.
Si respondemos falso, entonces debe haber un número primo infinito.
Eso es lo que sigue.
Pero el infinito no es un número y tenemos una contradicción.
Independientemente de que el infinito sea un número, hay números infinitos (o "transfinitos"). Y aunque no los hubiera, esto no sería una contradicción, como tampoco lo es que "No todos los caballos son feos" porque la belleza no es un animal. Esto no tiene que ver con la lógica o las matemáticas, sino con el mal uso del idioma inglés.
Si respondemos verdadero, entonces debe haber un número primo mayor.
No, eso no se deduce en absoluto. Todos los primos son finitos, pero no hay uno más grande, al igual que no hay un número entero mayor o un número entero par, etc. Que haya infinitos de algo no requiere que ninguno de ellos sea infinito, o infinito.
Pero Euclides demostró lo contrario y de nuevo tenemos una contradicción.
Lo hizo, pero no hay contradicción.
Entonces, ¿el conjunto de todos los números primos contiene todos los elementos finitos sin ningún elemento mayor?
Sí.
¿Cómo es posible?
No hay ninguna razón para que sea imposible, y Euclides demostró que no sólo es posible, sino que es cierto. Parece que lo has asumido como imposible para llegar a tu conclusión de una contradicción, lo cual es un argumento circular.
Dan Rust
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user143317
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La definición moderna de un conjunto infinito es aquel que puede ser expresado en una relación uno a uno con un subconjunto del mismo: por ejemplo: 2 4 6 8 y 1 2 3 4. este video producido por bbc horizon explora la infitidad, por qué hay al menos dos tamaños de infitidad... sí y muchos más aspectos del infinito y es muy wachable también... http://www.youtube.com/watch?v=FiMigmLwwTM
La respuesta a tu pregunta es que no es un problema matemático correctamente planteado en lengua inglesa. Estás mezclando valores dentro de un conjunto y el número de valores dentro de ese conjunto.
Esta respuesta fue escrita antes de que se editara la pregunta. No obstante, recomiendo el vídeo.
