Esta respuesta es una explicación exhaustiva de mi comentario sobre la respuesta de Mario G; no me cabía una explicación clara en los comentarios y me apetecía escribir algo. Su respuesta es una solución rápida y limpia, que me gusta mucho. Esta respuesta utiliza la fórmula cuadrática más sencilla en lugar del teorema de la raíz racional. Todo el mérito de la parte central de mi respuesta (de las ecuaciones $(1)$ à $(3)$ ) va a Mario G, ya que es esencialmente el mismo argumento.
Supongamos que $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ es una progresión geométrica. Está claro que $a_1\neq0$ ya que en caso contrario todos los términos de la progresión son iguales a $0$ en cuyo caso su suma no puede ser igual a $93$ . Sea $a:=a_1$ el factor de base y $q:=\tfrac{a_2}{a_1}$ el cociente común de la secuencia, y observe que $q>0$ porque la progresión va en aumento. Además, si $q<1$ entonces $a_1<0$ por la misma razón, pero entonces todos los términos de la progresión son negativos, en cuyo caso su suma de nuevo no puede ser igual a $93$ . Por lo tanto $q>1$ .
Podemos reescribir las ecuaciones dadas como \begin{eqnarray} a+aq+aq^2+aq^3+aq^4&=&\ 93,\tag{1}\\ aq+aq^3&=&\ 30.\tag{2} \end{eqnarray} Podemos eliminar el lado izquierdo de $(2)$ de la parte izquierda de $(1)$ como sigue: \begin{eqnarray*} a+aq+aq^2+aq^3+aq^4 &=&\ a+(aq+aq^3)+(aq^2+aq^4)\\ &=&\ a+(aq+aq^3)+q(aq+aq^3)\\ &=&\ a+(aq+aq^3)(1+q). \end{eqnarray*} A continuación, introduciendo las cifras de $(1)$ y $(2)$ nos muestra que $93=a+30(1+q)$ o, de forma equivalente $$a=93-30(1+q)=63-30q.$$ Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación $(2)$ produce $$30=(63-30q)q+(63-30q)q^3=63q-30q^2+63q^3-30q^4,$$ y ahora reordenando los términos y dividiendo por $3$ vemos que $q$ satisface la ecuación cuártica $$10q^4-21q^3+10q^2-21q+10=0.\tag{3}$$ Resolver un cuártico es generalmente no es divertido pero en este caso es ${}^☺$ porque es un polinomio palindrómico ¡! Esto nos permite utilizar un truco ingenioso; podemos dividir la ecuación $(3)$ por $q^2$ (porque ya vimos $q>0$ ) para obtener un cuadrático en términos de $q+q^{-1}$ : \begin{eqnarray*} q^{-2}(10q^4-21q^3+10q^2-21q+10) &=&10q^2-21q+10-21q^{-1}+10q^{-2}\\ &=&10(q^2+q^{-2})-21(q+q^{-1})+10\\ &=&10(q+q^{-1})^2-21(q+q^{-1})-10. \end{eqnarray*} Presta atención a lo que ocurre con los cuadrados en el último paso. Ahora vemos que $q+q^{-1}$ es una raíz del polinomio cuadrático $10x^2-21x-10$ con discriminante $29^2$ así que por la fórmula cuadrática $$q+q^{-1}=\frac{21}{20}\pm\frac{1}{20}\cdot29,$$ donde $q+q^{-1}>0$ porque $q>0$ por lo que debemos tener el ' $+$ '-signo con $q+q^{-1}=\tfrac{21}{20}+\tfrac{29}{20}=\tfrac52$ . Multiplicar por $q$ y reordenando los términos se obtiene $q$ es una raíz de la ecuación cuadrática $$x^2-\tfrac52x+1=0,$$ con discriminante $\left(\tfrac{3}{2}\right)^2$ así que por la fórmula cuadrática $q=\tfrac54\pm\tfrac12\cdot\tfrac32$ . Porque $q>1$ obtenemos $$q=\tfrac54+\tfrac12\cdot\tfrac32=2\qquad\text{ and }\qquad a=63-30q=3,$$ por lo que el único tal progresión geométrica es $$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,6,12,24,48).$$
☺: Esto puede depender de tu definición de diversión.
