Modelo de riesgo colectivo

Question

Me plantean una pregunta concreta sobre el modelo de riesgo colectivo S=X1+...+XN donde N es Bin(3,q=2/3) y el tamaño del siniestro se distribuye uniformemente en (1,2,3).

Me piden que calcule E(S), Var(S) y fs(r).

El problema que tengo es que literalmente no tengo ejemplos reales en los que basarme. Estoy teniendo dificultades para entender en primer lugar la E(S). Sé que E(S) = E(N)E(X)y E(N) = nq pero ¿qué es n aquí? ¿Es 3 o es 2 del uniforme? Realmente no estoy seguro. Se como calcular la probabilidad binomial pero de nuevo no estoy seguro de como calcularla.

Para Var(S) de nuevo sé que la fórmula es E(n)Var(X) + Var(N)E^2(X) pero de nuevo no tengo ejemplos para seguir en cuanto a cómo calcular estas cosas.

Luego para la Fs(r) no tengo ni idea de cómo obtener los valores alfa y beta.

Si alguien puede hacer esto por mí o enlazarme a una página con algunos ejemplos para practicar, se lo agradecería.

Gracias

Answer 1

Para la esperanza de la variable aleatoria $S$ podemos utilizar el teorema de la partición. Sabemos que $\mathbb{E}(S)=\sum_{i=0}^{3} \mathbb{E}(X_1+\dots+X_n \mid N=i)\mathbb P(N=i)$ . Ahora bien, se cumple que (como $X_1,\dots,X_n$ son independientes) $ \mathbb{E}(X_1+\dots+X_n=\mathbb{E}(X_1)+\dots+\mathbb{E}(X_n)=N\cdot \mathbb{E}(X_1)=N\cdot \left(\frac{1+2+3}{3}\right)=2N$ .

Entonces, usando esto tenemos aquello: $\mathbb E(S)=\sum_{i=0}^{3} \left(2i\cdot \binom{3}{i}\left(\frac{2}{3}\right)^i\left(\frac{1}{3}\right)^{3-i}\right)$ .

Ahora, ¿puedes terminarlo?